Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, если мы определим перенормированные связи так, чтобы
исключить только полюсы при Dt—4, то p-функции будут иметь структуру
Pi — ^i^l» Pa = ^s»
^ = g»F3 + gig*Pu+ (47)
где F — функции только от переменных g2, g^t, gfg4..............
Этот формализм делает возможным очень компактный и удобный анализ свойств
определенных фиксированных точек. Предположим, что gi определяются так,
чтобы исключить только полюсы при единственной пространственно-временной
размерности D,. Величина р, для любой неперенормируемой или
сверхперенормируемой связи
438
С. Вейнберг
должна быть всегда пропорциональна первой или более высоким степеням
неперенормируемой или сверхперенормируемой связей соответственно.
Следовательно, набор связей g* с обращающимися в нуль значениями для всех
взаимодействий, которые являются не-перенормируемыми или
сверхперенормируемыми при Ds, будет представлять фиксированную точку лишь
при условии, что величины рсоответствующие перенормируемым связям, будут
стремиться к нулю. Кроме того, единственными членами в dPt/dgt, которые
не стремятся к нулю в этой фиксированной точке, являются члены с di=d}-,
поэтому матрица Bt} диагональна по размерности связей, и собственные
значения этой матрицы могут быть получены диагонализацией субматриц,
соединяющих связи одинаковой размерности. Например, в теории, описываемой
лагранжианом (45), все р-функции (46) будут стремиться к нулю в точке
?д = 0. = ?з = 0, ?« = 0, ... (48)
лишь при условии, что gl удовлетворяет соотношению
Р,(0, gl 0, ...) = 0. (49)
Кроме того, В-матрица для этой фиксированной точки диагональна и имеет
отличные от нуля элементы:
Вц = (?*). В„ = (dFt/dg3)*, В33 = F3 (g*) .... (50)
Все эти диагональные элементы являются в таком случае собственными
значениями В-матрицы. Вообще говоря, фиксированная точка этого типа может
быть найдена с использованием строго перенормируемой теории (хотя
действительная теория может и не быть перенормируемой вообще) и
собственные значения В-матрицы, «критические экспоненты», могут быть
получены рассмотрением всех сверхперенормируемых и неперенормируемых
взаимодействий в качестве возмущений первого порядка.
Может быть, следовало бы подчеркнуть, что даже если определение (36)
перенормированных связей дает тривиальную зависимость p-функций от
пространственно-временной размерности D, критические экспоненты имеют в
точности такую же сложную D-зависимость, которую они имели бы при любом
другом определении перенормированных связей. Чтобы проиллюстрировать этот
факт, вернемся к лагранжиану (45) с D,=4. По мотивам, обсуждавшимся выше,
мы можем найти фиксированную точку, используя урезанную строго
перенормируемую теорию:
^-у^ф^ф-^ф*. (51)
Коллинз [152] вычислил полюсы в Кв, которые требуются для сокращения
полюсов в функциях Грина при D-»-4 снизу; в двухпетле-
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
439
вом порядке он нашел
^°--1+<0-4>-(тЙг+б^?+ ••) +
+ (0 4) ’((i6nj)i+ • ??) + ?••• (52)
Функция вычета для v=l, таким образом, имеет вид
h ..-3^,17 X3 , а' 16л® 6 (16я2)2 + -------------- (53)
Размерность cr^+p^D величины Х0 есть 4—D, поэтому стя.=4, р>.= 1 и (42)
дает здесь ^-функцию в виде
D) = (D-4)k + bix-kdbn/dk (54)
или с использованием (53)
WI, 0)=№-4)1+^,47^+ .... (55)
Фиксированная точка, где Ря.(Я*, D) обращается в нуль, может быть
получена в виде ряда по степеням (D—4):
b*=16n®|-i(4-D) + y(4-D)®+ ... |. (56)
(Эта точка известна как фиксированная точка Вильсона — Фишера ИЗО, 131].
Она имеет физический знак ^*>0 только для D<4.) Итак, мы легко вычисляем
критическую экспоненту
(д$Л ,л пч . 6Х.* 17Х*2 , 85.. ,
\ахд=х*— ^ ^ + 16я2 (16я2)2+ “(4 &)+???
(57)
Отметим, что она положительна по крайней мере для конечной области D ниже
D=4. Все другие критические экспоненты также положительны в окрестности
D=4, за исключением одной, соответствующей сверхперенормируемой связи —
(V2)mS4>2. Коллинз [152] также вычислил полюсы в ml, необходимые для
того, чтобы аннулировать особенности при D—4, вводимые этой связью; в
двухпетлевом порядке его результат есть
тг0ц 2 = m2 j^l +(D — 4) 1 (тёл5 +12 (Тб^2)2 + •?•) +
+<D-4>-owr-+ •••]? <68>
Следовательно, функция вычета для v=l и Ds—4 имеет вид
fci.m« = ms|jg^ + -i2(16na)S-f- •••]? (59)
Размерность <H-pD величины т\ равна +2, поэтому ami=+2, р„,»=*
440
С. Вейнберг
=0 и (42) дает p-функцию для тг в виде
(60)
или с использованием (59)
+- ...]• (61)
Соответствующая критическая экспонента обычно обозначается
В согласии с известными результатами [153, 154}. Тот факт, что только
одно собственное значение —v-1 матрицы Bt] отрицательно для D—4—е,
означает, что фиксированная точка Вильсона — Фишера имеет одномерную
ультрафиолетовую критическую поверхность и что есть лишь один параметр,
который необходимо установить, чтобы произвести фазовый переход второго
рода.
Мы видели в разд. 3, что существование теории, которая является
перенормируемой и асимптотически безопасной при пространственно-временной
