Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, предположим, что s можно выразить как функцию только переменных и и
/. Тогда d.P в (7.6.4) также можно считать функцией только переменных и и
/:
s/+1-s, = Ass/d/ + dP(u/, u^, (7.7.1)
Решение уравнения (7.7.1) можно представить в виде
s/+1= ? (l+Asdm)/-mdP(um, um_p . . . , т).
m--оо
(7.7.2)
Покажем, что (7.7.2) действительно удовлетворяет уравнению
(7.7.1). Подставляя в (7.7.1) вместо s/+1 и s/ выражения, стоящие в
правой части соотношения (7.7.2), получаем
i
S/+1-S/= Z (1 + Asdm)l~m dP {ит, um_1; . . . , m) -
m=-oo
- Z (1+Asdm)/-m_IdP(um, um_!...............tn). (7.7.3)
m=-oo
Выделим из первой суммы член с т = I
i-i
S/+1-s/ = d.P (и/, u/_i, . . . , /) -j- (1 -f- Asdl) Z (1т Asdm)1 X
т=-оо
/- 1
X d.P (um, um_b . . ., т)- 2 (1+Asdm)/-1_m X
т--оо
xdP(um, um_b . . . , т). (7.7.4)
Вычисляя разность двух оставшихся сумм, преобразуем (7.7.4) к виду
S/+1 -S/ = dP(U/, U/_!, . . . , /) +
i-i
+ Asdl Z (\+Asdtn)'-l-mdP(um, um_b . . .', m).
(7.7.5)
m-- oo
По определению сумма во втором члене (см. (7.7.2)) есть не что иное, как
S/, поэтому правая часть тождества (7.7.5) совпадает с правой частью
уравнения (7.7.1).
Выясним теперь, что можно утверждать относительно сходимости суммы по т.
Множитель
(1+А sdl)'~m (7.7.6)
будем считать ограниченным. Так как матрица As по предположению приведена
к жордановой нормальной форме, поведение множителя (7.7.6) достаточно
исследовать для случая, когда As имеет
248
Глава 7
вид жорданова блока. Это позволяет нам рассматривать вместо
(7.7.6) матрицу
(1 + k' + Mkdl)1, (7.7.7)
где 1 - единичная, к' = kdl - диагональная матрицы, Mk - квадратная
матрица k X k вида
О 1 О 1 о О 1 О '-.1
о
(7.7.8)
Над главной диагональю матрицы Мк стоят единицы, а все остальные элементы
равны нулю. Мы рассматриваем случай, когда />О (и, разумеется, / - целое
число). Воспользуемся биномиальным разложением:
(\+k> + Mkdl)
Нетрудно проверить, что при v > k
п
+ X')l-vMl(dl)v.
(7.7.9)
Ml = 0.
(7.7.10)
Это позволяет преобразовать биномиальное разложение (7.7.9) к виду
'I....................................
(7.7.11)
V-о V v /
Так как величина показателя v ограничена сверху (v < k), отдельные
элементы матрицы (7.7.11) можно оценить, рассматривая величину множителя
(1 + k')l~v или, что эквивалентно, (1 + к')1 . При I -*¦ оо абсолютная
величина этого множителя стремится к нулю, т. е.
|(1+*/)!'-> 0 при /->оо, (7.7.12)
если
|(1 + Ь')|<1. (7.7.13)
Разлагая к' на вещественную (кг) и мнимую (М) части, приходим к
необходимому и достаточному условию
{\ + kr)2 + ki2<\. (7-7.14)
Неравенство (7.7.14) выполняется только при условии
?v<0. (7.7.15)
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
249
На протяжении всей остальной части этой главы мы будем считать, что
условия (7.7.14) и (7.7.15) выполнены.
Чтобы вывести интересующие нас формальные соотношения, введем для
краткости обозначение
A_s/+1 = si+1 - S/ (7.7.16)
и с его помощью выразим s/ через s/+1:
S/ = (1 - А_) s/+1. (7.7.17)
Соотношение (7.7.17) позволяет нам разностное уравнение (7.7.1) в виде
(Д_ - &sdl{\ - A_))s/+1 = dP(uz, I). (7.7.18)
Напомним, что dP может быть функцией от и с различными временными
индексами /, I-1, . . . :
dP(uz, l) = dP(ut, Ui-i, . . . , /). (7.7.19)
Формальное решение уравнения (7.7.18) имеет вид
S/+1 = (Л_ (1 + Asdl) - Asdiy^dP (u;, I). (7.7.20)
Сравнивая решение (7.7.20) с ранее полученным решением
(7.7.2), получаем соотношение
i
(Д_(1+Л^)-Л5<М)-ЧР(и/, /)= Е (\+Asdm)!-mdP(um, т),
т--оо
(7.7.21)
которое может служить определением оператора А_, стоящего в его левой
части. Пусть
А_ = Д1? + Д (7.7.22)
где Д"> , и Т- действуют на стоящие справа от них функции следующим
образом:
А-/ (и/, /) = /(щ, /) -/(Щ, 7-1), (7.7.23)
А-'/(и/, l) = f(uly /)-/(щ_ь I), (7.7.24)
T-f (и/, /) = /(и/, /-1). (7.7.25)
Используя операторное соотношение (7.3.9), нетрудно доказать тождество
{Л_(1 +Asdl)-Asdl)-' = {AV> (1 + Asd/) -Asdl}-'~
- (A_(l + Asd/) -Asdl}-'-[ . . . ], (7.7.26)
где квадратными скобками обозначено для краткости выражение [. . .
]=(1+Asd/)AWT^-(AW(1+Asd/)-Asd/)->. (7.7.27) Соотношение (7.7.21)
позволяет думать, что выражение в фигурных
250
Глава 7
скобках обладает аналогом правой части соотношения (7.7.21). Нетрудно
показать, что эта догадка верна.
Предположим, что dP допускает разложение в сумму членов вида (см.
(7.3.18))
h(um, um_b . . . )dg(m), (7.7.28)
где h - функция только переменных и и не зависит явно от т, в то время
как вектор dg зависит только от т. Тогда, как нетрудно проверить,
выполняется соотношение
i
Z (1+Asdm);_m/i (um, um_j, . . • ) dg (m) =
m=-oo
I
- h (u;, Uj_j, . . .) Z (1 + Asdm.y-m dg (m) -
m--oo
I m-1
- Z (1+ Asdm)'+'-m Z (1 +Asdm)'"-1>-'"'{ . . . }
m=-oо m'--oo
(7.7.29)
где фигурными скобками обозначено выражение
1 • • • = um_p . . . )dg(m'). (7.7 30)
Суть соотношения (7.7.29) сводится к следующему: в левую часть
и
входит при всех предыдущих значениях временного индекса I, а в правую
