Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
от u,q> и t (см. (7.3.1)), и, приняв такое допущение, выводили некое
формальное соотношение. В этом разделе мы хотим показать, как можно
построить s с помощью итерационного метода. Воспользуемся для этого ранее
введенным малым параметром б. Пусть
s(n)K ф, 0= ? C<m)(u, ф, t) (7.4.1)
т-2
(где порядок каждого члена С(т) строго равен 6т) - аппроксимация п-го
порядка величины s.
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
241
Введем по определению величины Р(/) (и, ф, ^) = Р(г) (и, (s(&>}, ф, t)
(порядка, строго равного 61),
(7.4.2)
Qw(u, ф, ^)=Q(Z)(u, {sw}, ф, t) (порядка, строго равного 6г),
(7.4.3)
R(/) (и, ф, t) = R(/) (и, (s(ft)), ф, t) (порядка, строго равного 81),
(7.4.4)
предполагая, что s мы можем аппроксимировать до некоторого порядка k (как
указано в (7.4.2) - (7.4.4)), обеспечивающего правильный суммарный
порядок 8г соответствующего выражения.
Как показано ниже, выражения s(fI) можно строить последовательно. Чтобы
получить правильные выражения для C(fI>, необходимо обратиться к
соотношению (7.3.11). Выбирая из его правой части члены, порядок которых
строго равен б", разлагая вектор Р на члены порядка п-tn, а стоящий перед
Р оператор - на члены-порядка т (т < п-2), получаем
C(fl) (и, Ф, t) = ? (-J- -Л.)^ Р<^т)(и, Ф, t). (7.4.5)
т= О
Сравнивая с соотношением (7.3.11), находим, что оператор, стоящий перед
р(п-т)1 можно определить как
по всем i > 1 произведениям 2i=m
где мы обозначили
(---------------AsT1 = (- AsT' ' (7-4J)
V dt V(0) V dt V
воспользовались соотношением
(----) =-(-) (7.4.8)
V dt J(i) V dt J(i)
и положили по определению
Шо,(и- * 'Н*'+"Лг + * 0.
(7.4.9)
242
Глава 7
Переход от соотношения (7.3.11) к разложению (7.4.1) с соответствующими
определениями проделывается без труда, если порядок каждого члеца
указывать в явном виде. Разумеется, мы исходим из предположения, что
Q(<+1) и Rw представимы в виде функций от и, <р и t. Кроме' того, из
наших предыдущих предположений, принятых в разд. 7.2, следует, что должны
выполняться соотношения
В практических приложениях наиболее полезной оказывается фор-
дыдущие. Доказательство ее носит более технический характер, и мы
приводим его здесь только для полноты. Итак, докажем формулу (7.4.12).
Подставим для этого в ее левую и правую части вместо величин С с
соответствующим индексом их выражения из
Нетрудно видеть, что член с т = 0 выпадает, поэтому достаточно доказать
соотношение
Изменим порядок суммирования в (7.4.14). Нетрудно убедиться в том, что
индексы суммирования изменяются в следующих пределах:
Q(0> = Q(1) = 0, R<0> == R(l) = 0.
(7.4.10)
(7.4.11)
мула
поскольку она позволяет выражать последующие С(л) через пре-
(7.4.5):
п-2
т=0
п-2
п-2-т
(7.4.13)
т- 1
т' = 1 /=0
р(л-m' -1)
(7.4.14)
Нелинейные уравнения. Принцип подчинения
243
Следовательно, правую часть соотношения (7.4.14) можно записать в виде
п-2 т
V У (--aVY-'j (--л у1 р(п-я).
l-i L-J V dt S/(0) \ dt )(т')\ dt )
m=l m' - l
(7.4.16)
Сравнив при фиксированном tn каждый член в левой части соот-ношения
(7.4.13) с членами правой части, мы придем к соотноше* нию
т
(-г- -ч:=Е (J-л-
т' = 1
(7.4.17)
которое необходимо доказать. Используя определение (7.4.6), преобразуем
правую часть соотношения (7.4.17) к виду
( dt Ч, Z ( dt )("',( dt Ч) Х
т' = \
xZ п (--fu-s-*¦)"¦ (7418)
Zi=m-m
В свою очередь выражение (7.4.18) можно записать как
(-5- -Ч' Е П К - -г-Ш- -]'(74 Ш)
Zi=m
что совпадает с (7.4.6). На этом доказательство соотношения (7.4.12)
завершается.
7.5. Оценка остаточного члена.
Проблема дифференцируемости
Как упоминалось в разд. 7.1.2, в практических приложениях обычно бывает
достаточно нескольких первых членов ряда (7.3.11). Обрывая ряд на каком-
то члене, важно знать величину остаточного члена. Не вдаваясь в подробное
обсуждение оценки остаточного члена, приведем лишь один пример.
Остаточный член можно представить следующим образом:
j "р[М'-о] [(-?-); р] (7-5Л)
244
Глава 7
(см. (7.1.26)). Рассмотрим случай, когда вектор Р зависит только от
переменной и (и не зависит от s), и предположим, что
Ясно, что если матрица As диагональна и | у,- |mjn - наименьшая из
абсолютных величин отрицательных диагональных элементов матрицы As, то
выполняется неравенство
После m-кратного применения оператора (d/dt)<*, получаем
Поскольку нас интересуют большие значения т, правую часть соотношения
(7.5.9) можно аппроксимировать выражением
Аналогичные оценки можно вывести и для более сложных выражений,
содержащих Р, Q (и R). Не останавливаясь на них подробнее, приведем лишь
окончательные выводы, к которым приводит анализ этих оценок. Остаточный
член пропорционален некоторой степени и. Показатель степени содержит
множитель т. Следовательно, выбрав достаточно малую величину и, мы можем
добиться, чтобы вклад от остаточного члена стал сколь угодно малым. С
другой стороны, множитель ml при достаточно больших т приводит к
Р (и)~*(0и\
(7.5.2)
где
(7.5.3)
(7.5.4)
Кроме того, пусть
