Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
(3.3.5) с точностью до членов порядка (к + 1) нам нужно взять в (I +
DP)~X лишь члены порядка к, поскольку / имеет первый порядок.)
Следовательно, мы ищем Р из уравнения
яр.
- Е !), Х<У< = (3-3.7)
з
Мы видим, что оператор, стоящий в левой части уравнения (3.3.7), линеен
по отношению к коэффициентам многочлена Р. Кроме того, если Pi
др.
представляет собой моном у"1 ... у"", то -p-XjUj = aj^jPi и левая часть
оуз
этого уравнения принимает вид (А* - aj\j)Pi. Следовательно, эти моно-
з
мы являются собственными векторами данного оператора с собственными
значениями А, )С с/;/ А;/. Мы приходим к выводу: можно найти многочлен Р,
3
удовлетворяющий (3.3.7), при условии, что ни одна из сумм \i -
3
не обращается в нуль для целых неотрицательных чисел а\, . .., ап, сумма
которых равна к. Если ни одно из уравнений А* - J2aj^j = 0 не может
з
быть удовлетворено ни для каких целых неотрицательных чисел aj, сумма
которых больше или равна двум, то рассматриваемое уравнение можно
линеаризовать с точностью до любого алгебраического порядка.
Вопрос о существовании линеаризующего преобразования класса (7°° или
аналитичного - более сложен по сравнению с рассмотренной выше формальной
задачей. Пуанкаре удалось построить аналитическое преобразование в
случае, если вещественные части всех собственных значений имеют
одинаковый знак (при этом начало является источником либо стоком), Если
начало - седловая точка и имеются собственные значения обоих знаков, то в
задаче имеются малые знаменатели. Проблема аналитической линеаризации
оказывается связанной с выполнением арифметических дио-фантовых условий
для собственных значений. Она была решена Зигелем [1952], а проблему
С'°°-линеаризации позже решил Sternberg [1958]. Тем не менее,
вышеприведенные рассуждения помогают понять, почему теорема Хартмана
гарантирует лишь возможность линеаризации при помощи гомеоморфизма.
Упражнение 3.3.1. Покажите, что система
182
Глава 3
не может быть линеаризована при помощи гладкого преобразования координат.
В частности, нельзя устранить член вида х2у в первом уравнении и член
вида ху2 во втором уравнении.
В теории бифуркаций особый интерес представляют положения равновесия, в
которых собственные значения имеют нулевые вещественные части. В таких
случаях проблема линеаризации не может быть решена вследствие наличия
(нелинейных) резонансных членов в функции /, которые не могут быть
устранены путем замены переменных. Теорема о нормальной форме
устанавливает, насколько далеко можно продвинуться при помощи процедуры,
описанной выше для решения проблемы линеаризации гиперболического
равновесия. Ключевые наблюдения, лежащие в основе расчетов, таковы: (1)
разрешимость проблемы зависит лишь от линейной части векторного поля; (2)
решение можно свести к совокупности линейных систем уравнений. В
результате решения получаем ряды Тейлора для векторного поля, содержащие
только существенные резонансные члены.
Пусть L = Df(0)x обозначает линейную часть функции (3.3.1) в точке х = 0,
тогда L индуцирует отображение ad L на линейном пространстве ///-
векторных полей, коэффициентами которых являются однородные многочлены
степени к. Отображение ad L определяется так:
где [•, •] обозначает производную JIu (Abraham, Marsden [1978], Choquet-
Bra-hat и др. [1977]). В координатной форме имеем
Основной результат таков.
Теорема 3.3.1. Пусть х = f(x) - система дифференциальных уравнений класса
Сг, /(0) = 0, Df(0)x = L. Возьмем дополнение Gk к ad L(Hk) в Hk так, что
Н= ad L(Hk) + Gk- Тогда существует аналитическая замена координат в
окрестности начала, преобразующая данную систему
к виду у = д(у) = д(1){у) + д(2){у) + ... + g{r){y) + Rr, где L = д(1){у)
и дW G Gk для 2 ^ k ^ г, a Rr = о{\у\г).
Доказательство. Мы дадим конструктивное доказательство, которое может
быть использовано для вычисления нормальных форм на примерах.
Предлагаемая процедура следует шаблону, использовавшемуся при обсуждении
проблемы линеаризации. Воспользуемся индукцией и предположим, что система
х = f(x) преобразована таким образом, что члены степени меньше s лежат в
дополнительных подпространствах G,, 2 < ? < .s.
ad L(Y) = [Y7 L] = DLY - DYL,
(3.3.8)
П
(3.3.9)
3.3. Нормальные формы
183
Затем возьмем преобразование координат вида х = h(y) = у + Р(у), где Р -
некоторый однородный полином степени s, коэффициенты которого подлежат
определению. Замена приводит к уравнению
(.I + DP(y))y = f(1\y) + fW(y) + ... + /"(у) + Df(0)P(y) + o(\y\s).
Члены степени меньше s при этом преобразовании остаются неизменными, а
новые члены степени s таковы:
f(s\y) + DLP(y) - DP(y)L = fW(y) + ad L(P)(y), (3.3.11)
будет лежать в Gs, что и требуется.
При данных вычислениях мы на каждом шаге пренебрегали членами старшего
порядка o(|y|s). Это можно делать, если, как в данном случае, мы хотим
получить нормальную форму векторного поля с определенной линейной частью
L и нелинейной частью общего вида. Однако читатель должен понимать, что
