Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
аппроксимировать с любой точностью рядом Тейлора в точке х = 0:
3.2. Центральные мноеообразия
171
Теорема 3.2.3 (Henry [1981], Carr [1981]). Если можно найти такую функцию
ф(х), для которой ф(0) = Иф(0) = 0 и РУ(ф(х)) = 0(\х\р) при \х\ -> 0 для
некоторого р > 1, то
h(x) = ф(х) + 0(\х\р) при |ж| -> 0.
Таким образом, мы можем аппроксимировать h(x) с любой желаемой точностью,
отыскивая решения уравнения (3.2.16) в виде рядов. Однако, как мы увидим
ниже, в упражнении 3.2.2, такие разложения в ряд Тейлора не всегда
существуют, так как многообразие Wc может не быть аналогичным в начале
координат.
Для иллюстрации применения теоремы 3.2.3 рассмотрим систему
v = -V + аи2 + (3uv,
(3.2.17)
где параметры а и /3 определяются впоследствии. Имеется единственная
неподвижная точка в начале координат, а собственные значения
линеаризованной системы равны 0 и -1. Используя для преобразования
координат матрицу, столбцами которой являются собственные векторы:
1 1
0 -1
(3.2.18)
мы можем привести (3.2.17) к стандартной форме
0 0 ' fx] 4- 1 1"
0 -1 w+ 0 -1
а(х + у)2 - (3(х + у)у
ИЛИ
х = а(х + у)2 - [3(ху + у2), у = -у - а(х + у)2 + f3(ху + у2)-
(3.2.19а)
(3.2.196)
Поскольку оба подпространства Ес и Ев одномерны, h является
действительнозначной функцией, и уравнение (3.2.16) примет вид
jV(h(x)) = h'(x)[a(x + h(x))2 - (3(xh(x) + h2(x))\ +
+ h(x) + a(x + h(x))2 - (3(xh(x) + h2(x)) = 0, 6,(0) = 6'(0) = 0.
(3.2.20)
172
Глава 3
Положим h(x) = ах2 + bx3 + ..., где неизвестные коэффициенты а, Ъ, ...
определяются после подстановки в (3.2.20). В итоге получаем
h(x) = -ах2 + а(4а - /3)х3 + 0{х4), (3.2.21)
следовательно, искомую аппроксимацию можно записать в виде
х = а(х + h(x))2 - P(xh(x) + h2(x)) =
= а(х2 + (fJ- 2а)х3 + (9а2 - 7а/3 + /32)ж4) + 0{х5), (3.2.22)
или, если а ^ 0,
х = ах2 + (а(/3 - 2а)ж3) + 0(х4). (3.2.23)
Заметим, что в данном случае во втором порядке такой же результат
получается при помощи аппроксимации касательным пространством
h = 0 + O(x2), (3.2.24)
так как члены второго порядка определяют при а ф 0 качественное пове-
дение вблизи начала координат.
В следующем примере
х = ху, (3.2.25а)
у = -у - ах?, (3.2.25 Ъ)
и касательная аппроксимация не позволяет определить устойчивость вблизи
нуля, поскольку если у = h(x) = 0, то и х = 0, как в примере
Лоренца.
В данной задаче h определяется из уравнения
h'{x)[xh{x)] + h(x) - ах2 = 0, (3.2.26)
откуда, полагая h = ах2 + Ьх3 + ..., получим
h = ах2 + 0(х4). (3.2.27)
Таким образом, редуцированная система имеет вид
х = ах3 + 0(хъ). (3.2.28)
Локальные фазовые портреты для этих двух примеров (вблизи начала
координат) показаны на рисунке 3.2.5.
3.2. Центральные мноеообразия
173
ES У
W =ES у
х
X
Рис. 3.2.5. Центральные многообразия для двух приемов: (а) уравнение
(3.2.19), а > 0; (Ь) уравнение (3.2.25), а < 0.
УПРАЖНЕНИЕ 3.2.2. Найдите семейство центральных многообразий для системы
Проверьте, что попытки аппроксимировать это бесконечно дифференцируемое,
но не аналитическое многообразие при помощи степенных рядов не приводят к
успеху. В чем дело?
УПРАЖНЕНИЕ 3.2.3. Проверьте, что начало координат для системы уравнений
(1.8.20)
имеет тип локальной устойчивости, изображенный на рисунке 1.8.8(b).
УПРАЖНЕНИЕ 3.2.4. Аппроксимируйте уравнение х = Вх + f(x,h(x)) для
системы, редуцированной вблизи начала координат на IVе, в следующих
случаях:
з
X = -X ,
У = -У + х2,
получив точное решение уравнения dy/dx - у/х3 = - 1/х методом вариации
постоянных:
2
х = х - ху, у = -у+ х2
(а) х = ах2 - у2, (Ь) х = - у + xz,
у = -у + х2+ху\ у = х + yz,
/ 2 I 2 \ I 2
z - {X + у ) + Z .
174
Глава 3
В случае (а) сначала положите а ф 0, а затем а = 0. В обоих случаях
разложите h в степенный ряд до степени, достаточной для определения
устойчивости редуцированной системы.
УПРАЖНЕНИЕ 3.2.5. Начав с уравнения (3.2.9) и записав центральное
многообразие в виде (v,w) = (hi(и), h2(u)), аппроксимируйте методом
степенных рядов центральное многообразие для уравнений Лоренца (где р =
1) до третьего порядка. Тем самым проверьте специальные вычисления,
приводящие к (3.2.11), и покажите, что редуцированная система имеет вид й
= -а/[3(1 + а)и3 + 0(и4).
Отметим теперь несложное обобщение метода центрального многообразия,
полезное при исследовании параметризованных семейств систем. Допустим,
что в уравнении (3.2.13) матрицы В, С и функции /, д зависят от
некоторого /.'-мерною вектора параметров /г, и запишем расширенную
систему так:
х = В^х + /м(ж,у), У = + дд(х,у)
/7 = 0
(х, у) е
/i ?
(3.2.29)
(см., например, уравнение (3.2.24)). В точке (х, у, у) = (0,0,0) система
(3.2.29) имеет (п + /с)-мерное центральное многообразие, касательное к
пространству (х, /г), которое можно аппроксимировать степенными рядами
(по х и у) для графика h: R" х Rk -> Mm точно так же, как ранее. Свойства
инвариантности центрального многообразия гарантируют, что любые малые
решения, бифурцируюгцие из точки (0, 0, 0), должны лежать на некотором
