Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 60

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 199 >> Следующая

центральном многообразии, поэтому мы можем проследить за локальной
эволюцией би фур пирующих семейств решений при помощи этого расширенного
семейства центральных многообразий.
В качестве примера рассмотрим квадратичное уранение Дуффинга
и = V,
v = /Зи - и2 - Sv,
(3.2.30)
при 5 > 0 и параметре (3, изменяющемся вблизи нуля. При /3 = 0
линеаризованная в точке (и, v) = (0, 0) система имеет собственные
значения 0 и -5, и при помощи преобразования
1 1 0
1 1/5'
0 -1 /5
уравнения (3.2.30) можно записать как расширенную систему
0 0 0
1 1
-1 -1
1 (~(х + у)2
5\(х + у)2
(3.2.31)
Ф = 0),
3.2. Центральные мноеообразия
175
ж = ^(ж + у) - |(ж + у)2,
/3 = 0, (3.2.32)
У = ~5у ~ ^(х + у) + ^(ж + у)2.
Будем искать центральное многообразие в виде
у = h(x, /3) = ах2 + Ъх/З + с/32 + 0(3), (3.2.33)
где 0(3) обозначает члены порядков ж3, ж2/3, ж/32 и /З3. Уравнение
(3.2.16) в данном случае выглядит так:
(dh dh\ f(0/5)(x + h) - (l/5)(x + h)2 \<9ж' <9/3/ \ 0
+ Sh+^(x + h)-^(x + h)2 = 0. (3.2.34) Подставляя (3.2.33) в (3.2.34),
получим
(2ax + 6/3, ...) _|_ цах2 _)_ t,xf] _|_ c/32)+
+ ^(x + ax2 + bx/.3 + c/32) - ^(ж + ¦ ¦ )2 = 0(3).
Приравнивая коэффициенты при степенях х2, ж/3 и /З2, найдем
1 и 1 А
а = -х, Ъ = - - , с = О,
<г <г
откуда
У= ^(ж2-/3ж) + 0(3). (3.2.35)
1 / 2 62 (Ж
Следовательно, редуцированная система, определяющая устойчивость, име ет
вид
ж = ^ж + -^(ж2 - /Зж)) - ^(ж + .. .)2 + 0(3) ф = 0),
176
Глава 3
или
i=f(i_f)a:"K1_f)a:2+0(3) (^=0)- (3-2-36)
Отсюда для достаточно малых /3 (|/3| < §2) мы получаем бифуркационную
диаграмму, построенную на рисунке 3.2.6, правильность которой можно
проверить путем непосредственных вычислений. Расширенное семейство
центральных многообразий для этого примера изображено на рисунке 3.2.7.
х
Рис. 3.2.6. Бифуркационная диаграмма для уравнения (3.2.30).
У
Рис. 3.2.7. Семейство центральных многообразий для уравнения (3.2.30).
УПРАЖНЕНИЕ 3.2.6. Вычислите приближенно центральное многообразие (v, w) =
(hi(u, р), h,2(u, р)) для уравнений Лоренца (3.2.5) в случае, когда р
близко к единице. (Воспользуйтесь тем же преобразованием (3.2.7), считая
р переменным параметром в матрице (3.2.6).)
УПРАЖНЕНИЕ 3.2.7. Проверьте, что для уравнения Дуффинга (2.2.6) для малых
\(3\ и фиксированном <5 > 0 аппроксимация центрального многообразия при
помощи касательного пространства как графика на Ес х (Д-пространство)
порождает качественно верную бифуркационную диаграмму.
3.2. Центральные мноеообразия
177
В заключение данного раздела заметим, что существует теорема о
центральном многообразии для диффеоморфизмов в неподвижной точке,
соответствующая теореме, которую мы сформулировали для потоков в
положении равновесия. В неподвижной точке р диффеоморфизма G существуют
инвариантные многообразия, соответствующие обобщенным собственным
пространствам DG{p) для собственных значений, лежащих внутри, на и вне
единичной окружности. Смотри формулировку этой теоремы в Marsden,
McCracken [1976].
Для аппроксимации центральных многообразий можно пользоваться, по-
существу, тем же способом, что и для потоков. Полагая, что наша
дискретная система имеет вид
где все собственные значения матриц В а С лежат на и внутри единичной
окружности соответственно, будем вновь искать центральное многообразие в
виде графика у = h(x). Подстановка этой формулы в (3.2.37) дает
Уп+1 = h(xn+1) = h(Bxn + F(xn, h(xn))) = Ch(x") + G(xn, h(x")),
jV(h(x)) = h(Bx + F(x, h{x))) - Ch(x) - G(x, h(x)) = 0, (3.2.38)
и мы вновь можем воспользоваться методом аппроксимации при помощи
степенных рядов.
В качестве примера рассмотрим отображение
Полагая у = h(x) = ах2 + Ьх3 + 0(х4) и подставляя в (3.2.38), имеем
а(х + х(ах2 + .. .))2 + Ь(х + х(ах2 + .. .))3 - Х(ах2 + Ьх3) + х2 =
0(х4),
з^п+1 - Вхп + F(^xni Уп)ч Уп-\-1 = СУп G(xn, Уп
(3.2.37)
или
%п+1 - Хп + ХпуП1
(3.2.39)
Уп+1 - ^Уп хп1 0 < А < 1.
или
ах2 + Ьх3 - А ах2 - А Ьх3 + х2 = 0(х4).
Отсюда
(3.2.40)
178
Глава 3
Таким образом, центральное многообразие описывается формулой
у = Д + °(ж4)' (3-2-41)
а редуцированная система имеет вид
х3
хп+1 = хп+ дзу- (3.2.42)
Поскольку Л - 1 < 0, то нулевое решение уравнения (3.2.42) и,
следовательно, системы (3.2.39) локально асимптотически устойчиво.
УПРАЖНЕНИЕ 3.2.8. Вычислите редуцированные системы на центральных
многообразиях до третьего порядка для следующих отображений и опишите их
бифуркации.
(a) (аз,г/) [х + ху-у2, ^у + х2);
(b) (х, у) н-> (х + х3 + аху, ^у - х2);
1 3
(c) (х,у) Ы- (у, ~2Х+ 2v~y3^-
Выше мы предполагали, что в точке бифуркации неустойчивое многообразие
пусто. Если это не так, мы должны иметь дело с системой вида
X = Вх + f(x,ys,yu),
Уз = Cay + gs{x, уа,уи), {х,у3,уи) ? Е" хГ' хЕ"", (3.2.43)
Уи = Cuz а ди{х, Уи)?
где, как и прежде, собственные значения матрицы В имеют нулевые
вещественные части, а вещественные части собственных значений матриц C's
и Си соответственно отрицательны и положительны. Вновь будем искать
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed