Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 56

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 199 >> Следующая

упражнения 1.8.9, 1.8.11.)
(d) ж = ж2/ + ж3, у = -у - х2у.
Заметим, что в последнем примере (d) одно из собственных значений равно -
1, следовательно, существует одномерное устойчивое многообразие (в данном
случае, ось ординат). В данной задаче прямое вычисление показывает, что
ось абсцисс является вторым инвариантным множеством, касательным к (в
действительности, совпадающим с) центральному собственному пространству
Ес. Это один из примеров центрального многообразия: инвариантного
многообразия, касательного к центральному собственному пространству.
Локальное динамическое поведение, "трансверсальное" к центральному
многообразию, относительно просто, так как оно управляется
экспоненциально сжимающими (и растягивающими) потоками на локально
устойчивом (и неустойчивом) многообразиях. Заметим, что мы не можем
определить центральное многообразие в терминах асимптотического поведения
решения на нем (ср. уравнение (1.3.5)), так как, как показывает
упражнение 3.2.1, решения на центральном многообразии могут быть
расширяющими или сжимающими.
Вообще говоря, метод центрального многообразия позволяет изолировать
сложное асимптотическое поведение за счет определения инвариантного
многообразия, касательного к подпространству, натянутому на (обобщенное)
собственное пространство, соответствующее чисто мнимым собственным
значениям. Здесь, однако, имеются технические трудности, не
присутствующие в теореме об устойчивом многообразии. Они включают
неединственность и потерю гладкости инвариантного центрального
многообразия. Прежде чем сформулировать главный результат,
проиллюстрируем эти соображения парой примеров.
3.2. Центральные мноеообразия
163
Рис. 3.2.1. Фазовый портрет уравнения (3.2.1), показывающий некоторые
центральные многообразия (жирные линии).
Наш первый пример принадлежит Kelley [1967]. Рассмотрим систему
Ж = а;2' (3.2.1)
У = -у-
Решения этой системы имеют вид x{t) = xq/(1- txo), y(t) = уое~г. Исключая
t, получим фазовую кривую, являющуюся графиком функции у(х) = =
(уое_1^ж°)е1/ж. При х < 0 все эти фазовые кривые приближаются к началу
"плоским образом", т. е. все их производные обращаются в нуль при х = 0.
При х > 0 единственной фазовой кривой, приближающейся к началу (при t ->
оо), является ось абсцисс. Таким образом, центральное многообразие,
касательное к направлению собственного вектора, отвечающего нулевому
собственному значению (ось абсцисс), далеко не единственно. Мы можем
построить С°° центральное многообразие, соединяя вместе любую фазовую
кривую в левой полуплоскости с правой половиной оси абсцисс, см. рисунок
3.2.1. Заметим, однако, что единственным аналитическим центральным
многообразием является сама ось абсцисс.
Для объяснения отсутствия у центрального многообразия гладкости сделаем
сначала простое наблюдение, касающееся траекторий, приближающихся к
некоторому узлу. Рассмотрим линейную систему
х = ах,
• . (3-2.2)
У = by,
где b > а > 0. Разделив одно из этих уравнений на другое, получим
164
Глава 3
Как легко видеть, решения уравнения (3.2.3) имеют вид у(х) = С|а;|(ь/°).
Графики функций у(х) являются фазовыми кривыми для системы (3.2.2). Если
мы продолжим одну из этих кривых вплоть до начала координат, то она не
будет бесконечно дифференцируемой в случае, когда число Ь/а не является
целым и С ^ 0. Если г < b/a < г + 1, то продолженная кривая принадлежит к
Сг, но не к Cr+1. Даже если число Ь/а целое, кривая, образованная
объединением начала координат и двух фазовых кривых справа и слева от
него, будет в общем случае лишь Ь/а - 1 раз дифференцируемой.
Приведем теперь пример, показывающий, что можно вынудить центральное
многообразие содержать кривые, полученные путем стыковки в узле, подобные
только что описанным. Рассмотрим систему
X = ух - X3,
У = У, (3-2.4)
У = О,
в которой "параметр" у играет роль (тривиальной) зависимой переменной.
Нетрудно проверить, что для данной системы, линеаризованной в начале
координат, ось у является неустойчивым подпространством, а плоскость (ж,
у} - центральным подпространством. Множество положений равновесия этой
системы состоит из оси у и параболы у = х2 в координатной плоскости
(х,у), см. рисунок 3.2.2. Поскольку у = 0, плоскости у = const
инвариантны относительно потока (3.2.4). В плоскости у = const ^ 0 все
положения равновесия гиперболичны. Те из них, которые лежат на оси у при
у < 0 и на параболе, являются седлами, а те, которые лежат на
положительной части оси у, - неустойчивыми узлами. Мы хотим построить
центральное многообразие в начале координат. При у ^ 0 поток системы
(3.2.4), с топологической точки зрения, представляет собой
однопараметрическое семейство седел, и единственный возможный выбор
центрального многообразия - это точки координатной плоскости (х, у).
Если у > 0, неустойчивые многообразия седел, лежащих на параболе (каждое
из них является вертикальной прямой х = ±^fy), образуют некоторое
инвариантное многообразие М, разбивающее М3 на две инвариантных области.
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed