Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Центральное многообразие должно пересечь М, причем это пересечение должно
содержать параболу равновесий. Отсюда следует, что центральное
многообразие при у > 0 должно состоять из положений равновесия системы
(3.2.4), а также устойчивых сепаратрис седел, лежащих на параболе. Для
системы (3.2.4) все положения равновесия лежат на координатной плоскости
(х, у) и центральное многообразие представляет собой плоскость (х, у).
Однако если мы заменим второе уравнение системы на у = у + х4, то по-
прежнему можно утверждать (без доказательства), что центральное
многообразие должно состоять из положений равновесия и их седловых
сепаратрис. Однако, последние теперь уже не будут стыковаться
3.2. Центральные мноеообразия
165
У
х
Рис. 3.2.2. Инвариантные многообразия для уравнения (3.2.4).
друг с другом бесконечно дифференцируемым образом вдоль кривой узлов на
положительной половине оси /т. Степень гладкости убывает по мере удаления
от начала, так как система (3.2.4), линеаризованная в точке (0, 0, до),
имеет собственные значения 1 и /то в плоскости /г = /то- Следовательно,
мы ожидаем, что степень гладкости ограничена величиной 1 //хо- Если нас
интересуют только Сг-инвариантные многообразия, где г < оо, то поиск
увенчается успехом, если мы ограничимся достаточно малой окрестностью
начала координат (в данном примере диаметра не более 1/г).1
Данные примеры подводят нас к следующем утверждению.
Теорема 3.2.1 (о центральном многообразии для потоков). Пусть / -
векторное поле в R(tm) класса Сг, исчезающее в начале координат (/(0) = =
0), положим А = Df(0). Разобьем спектр А на три части: а3, ас, аи,
'Данный факт можно доказать, решая линейное уравнение первого порядка
dy/dx = = у/{ух - х3) + х3 Ар, - х2), которое (при подходящих граничных
условиях) определяет центральное многообразие на каждом "срезе" р =
const. Пользуясь формулой вариации постоянных, получим
откуда, после разложения решения в ряд при малых х и (л, нетрудно
установить вышеупомянутое отсутствие гладкости. Дальнейшие подробности и
другие примеры можно найти в Sijbrand [1981], van Strien [1979] и Carr
[1981].
где
166
Глава 3
Е
W5
W"
Рис. 3.2.3. Устойчивое, неустойчивое и центральное многообразия.
Обозначим (обобщенные) собственные пространства для as, ас и <ги как Es,
Ес и Еи соответственно. Тогда существуют устойчивое и неустойчивое
многообразия Wu и IVs класса Сг, касающиеся Еи и Е3 в начале координат, а
также центральное многообразие Wc класса СТ~Х, касающееся Ес в начале
координат (если / класса С°°, то можно найти центральное многообразие
класса Сг для любого конечного г). Многообразия Wu, W3 и Wc инвариантны
относительно потока /. Устойчивое и неустойчивое многообразия
единственны, а центральное многообразие может быть неединственным.
Данная ситуация иллюстрируется рисунком 3.2.3. Заметим, что мы не можем
определить направление потока на Wc без дополнительной информации о
членах старших порядков в разложении функции / вблизи нуля.
Более полную информацию о существовании, единственности и гладкости
центральных многообразий, а также доказательства теоремы 3.2.1 и
последующих результатов можно найти в Marsden, McCracken [1976], Carr
[1981] и Sijbrand [1981]. Следует также отметить статью Kelley [1967] как
первое опубликованное полное доказательство теоремы 3.2.1.1
Может показаться, что более простой альтернативой теореме о центральном
многообразии является проектирование данной системы на линейное
подпространство, натянутое на Ес. Таким образом, если записать векторное
поле / как / = fu + fs + /с, где fu е Еи, f3eE3nfce Ес,
1 Сведение изучения бифуркаций исходного векторного поля к изучению
бифуркаций век-торного поля меньшей размерности на "центральном
многообразии" см. в [9, 10]. - Прим. ред.
3.2. Центральные мноеообразия
167
то можно надеяться, что вблизи положения равновесия сужение /с на Ес
правильно описывает качественную динамику на центральных направлениях.
Однако система Лоренца показывает, что это не всегда имеет место, и
служит, таким образом, поучительным примером важности вычисления
центральных многообразий в бифуркационных проблемах.
Напомним, что система Лоренца (2.3.1), введенная в главе 2, имеет вид
х = сг(у - х), у = рх - у - xz,
z = -/3z + ху.
(3.2.5)
Данная система является приближением Галеркина для системы
дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих двумерную
конвекцию типа описанной в разделе 2.1. (Мы рассмотрим проекцию и
процедуру усечения Галеркина ниже, в разделе 7.6.) Мы изучим бифуркацию
системы (3.2.5), происходящую при (x,y,z) = (0,0,0) и р = 1. Матрица
Якоби в нуле такова:
/-а сг 0\
[ р -1 0 (3.2.6)
V о о -р;
Если р = 1, то эта матрица имеет собственные значения 0, -сг - 1 и - /3 с
собственными векторами (1,1, 0), (сг, -1, 0) и (0,0,1). Принимая эти
собственные векторы за базис новой системы координат, положим
(
1 + сг 1
1 + сг
\ о
1 + сг - 1 1 + сг
о
о 1/
(3.2.7)
Это преобразование приводит (3.2.5) к виду
