Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
центральное многообразие в виде графика на U С Ес ~ R": (у3,уи) = =
(hs(x), hu{x)). Затем, записывая векторы (у') как у и () как д, а матрицу
(^С0" q j как С, мы можем действовать точно так же, как прежде.
Аналогично можно поступать с отображениями: как и в случае потоков, можно
добавлять параметры и составлять расширенные системы.
УПРАЖНЕНИЕ 3.2.9. Найдите центральные многообразия с точностью до второго
порядка и редуцированные системы до третьего порядка для следующих
систем:
(a) х = х2у + az2, у = -у + х2 + zy, z = z - у + ху;
(b) (x,y,z) (-х + yz, у -*• - ^у + х2, z -> 2z - ху).
3.3. Нормальные формы
179
3.3. Нормальные формы
В данном разделе мы продолжим знакомиться с техническими методами,
составляющими фундамент для изучения качественных свойств потоков вблизи
бифуркации. Мы полагаем, что теорема о центральном многообразии уже была
применена к рассматриваемой системе, и потому ограничиваемся анализом
потока на самом этом многообразии, т. е. приближенного уравнения
(3.2.15). Мы попытаемся найти дополнительное преобразование координат,
упрощающее аналитическое выражение для векторного поля на центральном
многообразии. Полученные "упрощенные" векторные поля называют
нормальнььии формами. Анализ динамики нормальных форм позволяет получить
качественную картину потоков для каждого из типов бифуркаций.
Идея введения последовательных преобразований координат для упрощения
аналитического выражения общей задачи является весьма плодотворной. На
ней основывается теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ), изучающая
квазипериодические движения (см. разд. 4.8 и 6.2). Кроме того, эта идея
используется в методах усреднения, которые будут описаны в главе 4 (в
действительности, нормальные формы можно строить путем усреднения, см.
Chow, Mallet-Pare [1977]). Мы также будем иногда предполагать при анализе
потоков вблизи гиперболического равновесия, что система была
линеаризована путем некоторого преобразования координат. Для бифуркаций
коразмерности два, обсуждаемых в главе 7, и бифуркации Хопфа, обсуждаемой
в разделе 4 данной главы, нормальные формы делают прозрачными
определенные свойства симметрии этих бифуркаций. Использование этой
симметрии существенно облегчает исследование динамики.
Перейдем к более подробному описанию проблемы вычисления нормальных форм.
Начнем с системы дифференциальных уравнений
x = f(x), (3.3.1)
имеющей положение равновесия в нуле. (В уравнении (3.3.1) опущена явная
зависимость от параметра /г.) Мы хотим найти такое преобразование
координат х = h(y), где h{0) = 0, что система (3.3.1) станет "настолько
простой, насколько возможно". В координатах у имеем
Dh(y)y = f(h(y)),
ИЛИ
y=(Dh(y))-1f(h(y)). (3.3.2)
Лучшее, чего можно ожидать от системы (3.3.2), - это ее
линейность.
Формально (т. е. в терминах степенных рядов) можно попытаться
итератив-
но построить последовательность преобразований координат hi, /12, . . .,
180
Глава 3
уничтожающих члены возрастающих степеней в рядах Тейлора для правой части
формулы (3.3.2) в начале координат. Процедура отыскания нормальной формы
систематизирует эти вычисления, однако она не всегда приводит к
описанному наиболее строгому результату. В общем случае "наибольшая
возможная простота" означает удаление всех несущественных членов (до
определенной степени) из рядов Тейлора. Если эта процедура применяется к
равновесию гиперболического типа, она позволяет получить формальную часть
теоремы Хартмана о линеаризации, что сейчас и будет показано. После этого
отступления, мы вернемся к негиперболическим равновесиям, испытывающим
бифуркацию.
Допустим на время, что Df(0) имеет различные (возможно, комплексные)
собственные значения Аь ..., А" и что проделано предварительное линейное
преобразование координат, диагонализующее Df(0). Тогда система (3.3.1) в
координатной форме выглядит так:
±1 = \гхг + gi(x\, .. .,хп) х2 = А2ж2 + 92{х 1, ...,хп)
или х = Ах + д(х), (3.3.3)
Хп = АпХп + 9п (^Т ? • • • ; Хп)
где в разложениях функций уу в начале координат отсутствуют члены ниже
второго порядка. Мы хотим найти преобразование координат h в виде суммы
тождественного и членов старших порядков, в результате которого в
уравнении (3.3.2) исчезнут нелинейные члены до порядка, более высокого,
нежели для д. Пусть к - наименьший порядок отличной от нуля производной
некоторой функции gy, тогда будем искать h в виде
x = h{y)=y + Р{у), (3.3.4)
где Р - полином степени к такой, что наименьшая степень нелинейных
членов в преобразованном уравнении (3.3.2) равняется (fc+1). Теперь
(3.3.2) имеет вид
у = {1 + DP{y))~1f{y + Р(У))- (3.3.5)
Разложим данное выражение по степеням у, сохраняя только члены не ниже
порядка к. Обозначая члены порядка к для у* как и полагая
Р{У) = (р1 (У), ¦ ¦ •, рп(у)), получим
" ' яр.
т = AiVi + aipi(y) + yf(y) - (3.3.6)
i=i Vj
3.3. Нормальные формы
181
При выводе этой формулы использовано соотношение (I + DP) 1 = = I - DP,
справедливое с точностью до членов порядка к и старше. (При вычислении
