Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
первыми шестнадцатью осцилляторами %А и коммутировать с остальными, и
второй оператор (-l)f2 с прямо противоположными свойствами. Тогда GSO-
подобная проекция, которая выделит нам из (6.3.28) и
(6.3.29) алгебру Ли, сведется к тому, что мы оставим те и только те
состояния, которые инвариантны как относительно (-1) ', так и
относительно (- 1)F\ Если мы постулируем, что основное состояние jO)L в
секторе АЛ четно относительно обоих операторов ((-l)Fl и (-l)Fj)> то
нетрудно увидеть, какие именно состояния в (6.3.29) будут удовлетворять
условию GSO-no-добной проекции. Интересующие нас состояния должны быть
просто порождены действием |0>l двух фермионов, принадлежащих к одной и
той же группе, либо к первым 16 %А, либо ко вторым, и в итоге выживут
состояния, преобразующиеся как
(120, 1)(r)(1, 120). (6.3.30)
Что же касается (6.3.29), то мультиплеты каждой пары, и в АР-, и в ЯЛ-
секторе, будут иметь противоположные собственные значения оператора (-
1)^, и, следовательно, из каждой пары будет выживать по одному
мультиплету; какой именно мультиплет останется - это роли не играет,
поскольку различие между представлениями 128 и 128' группы spin (16) --
ис-ключително вопрос соглашения. Фиксировав некое соглашение, мы можем
утверждать, что состояния из (6.3.29), остающиеся после проектирования,
преобразуются как
(128, 1)0(1, 128). (6.3.31)
В приложении 6.А показано, что сумма представлений 120 Ф 0128 группы spin
(16) образует алгебру Ли исключительной группы Е$, а значит, вместе
наборы (6.3.30) и (6.3.31) отвечают группе ?8Х?,8- В гл. 9 мы увидим, что
введенная нами GSO-подобная проекция вытекает из требования унитарности,
но пока что удовлетворимся тем, что (хотя мы не смогли совсем устранить
(6.3.29)) это единственный способ спроектировать (6.3.28) и (6.3.29) так,
чтобы получить в результате алгебру Ли.
В том виде, в каком она сейчас представлена, наша теория обладает
очевидной алгеброй токов с группой spin (16)X X spin (16), и ниоткуда не
видно, что на самом деле это группа Es X Еа. Однако, если наша теория
действительно имеет смысл, такая алгебра обязана существовать!
Действительно, наличие безмассовых калибровочных бозонов группы Е8 X Еъ
означает,
354
6. Неабелева калибровочная симметрия
что в теории имеется симметрия fsX^si а любая теория с такой симметрией,
имеющая алгебру токов spin(16)X spin(16), должна иметь и алгебру токов Е8
X Е8. Однако явно построить дополнительные сохраняющиеся токи для
расширенной группы Е8 X Е8 довольно трудно, и лишь в конце разд. 7.3 мы
предъявим соответствующую конструкцию. Далее в этой главе мы предложим
альтернативный способ построения теории, где возникновение алгебры токов
?зХ Дв будет продемонстрировано явно.
На первом возбужденном уровне имеется колоссальное количество допустимых
состояний, причем все они группируются в мультиплеты Е8 X Е8. 256 правых
мод с N = 1 могут тензорно
умножаться на состояния | а; Ь) из сектора РР с Я = 0, на АР-
состояния с fj = 1
ceLi|0; а), аЛ/2я!1/2|0; а), ?li|0;d> (6.3.32)
или на /М-состояния
ctl11 а; 0), xtmiB~U2\а; 0), А.1,|а;'0). (6.3.33)
Точечные спинорные индексы отмечают спиноры противоположной киральности.
Иными словами, \|а)=|а), в то время как Y|a> = - |а>. И наконец,
необходимо включить Л Л-состояния с N = 2:
а1-210), aL.aL^O), аг_,я11/2Я-1/2| 0), 0),
1/2^ -1/2^--1/2Я -1/2 | 0), А-- 1 /2^ - I/2А-- 1 /2А--\/2 | 0),
(6.3.34)
Я-1/2Я?3/2| 0), ^-1/2^-з/21 0), Я^1/2Я^1/2Я?.1/2Я?1/2| 0).
Все вместе это дает 73 764 моды, в точности как в теории с группой spin
(32) /Z2. Несколько позже мы покажем, что и число частиц на каждом
массовом уровне в обеих теориях гете-ротической струны совпадает.
6.4. Компактификация на торы
Простота рассмотренной нами фермионной конструкции алгебры токов является
ее несомненным достоинством, но, к сожалению, есть в ней и существенные
недостатки. Конструкция Е& X Е8 мультиплета выглядит несколько
искусственно, а доказательство симметрии Е8 X Ея неполно (недостающие
ключевые моменты этого доказательства будут объяснены в конце разд. 7.3).
Теперь же мы приступаем к обсуждению "бозонной"
6.4. Компактификация на тори
355
реализации алгебры токов, которая хотя и требует некоторой дополнительной
подготовки, но открывает перед нами гораздо более простой путь к
достижению симметрии Eg.
Напомним, что действию (6.3.1) отвечает теория, имеющая нетривиальную
алгебру токов в левом секторе. Однако сейчас мы начнем наше обсуждение
бозонной реализации алгебры токов с теории (фактически с действием
(6.2.4)), в которой такая алгебра имеется как в правом, так и в левом
секторах. Подобный выбор продиктован тем обстоятельством, что некоторые
из получаемых нами формул имеют и более широкое приложение к вопросу о
компактификации в теории струн, и, кроме того, часть важных для нас
структур гораздо проще осознать, отталкиваясь от лево-право симметричной
теории. Итак, мы начнем с рассмотрения модели Венециано, но не в М26 (26-
