Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
проекцию.
С другой стороны, левый сектор составляет левые моды и поля ХА. Поскольку
никакой левой суперсимметрии нет, то единственными духами будут обычные
репараметризационные духи, столько, сколько требуется, чтобы погасить
вклад 26 бозонов. Поскольку XIх в (6.3.1) есть только десять штук, то
остаток вирасоровской аномалии должен быть погашен посредством %А, а так
как два майорановских\или один дираковский фер-мион дают в вирасоровскую
аномалию столько же, сколько один бозон (в этом мы убедились, исследуя
процедуру бозонизацик
344
6. Неабелева калибровочная симметрия
-фермионов), то в (6.3.1) нам необходимо иметь 32 штуки %А. Таким
образом, если все удовлетворяют одним и тем же граничным условиям, то они
реализуют симметрию SO (32). При дальнейшем анализе мы обнаружим
появление в теории без-массового калибровочного мезона группы 50(32), и,
следовательно, у нас действительно имеется калибровочная симметрия
50(32). Существует и другая, более привлекательная возможность, когда не
все %А удовлетворяют одним и тем же граничным условиям и вместо 50 (32)
можно получить симметрию ?8Х В дальнейшем эта возможность тоже будет
рассмотрена.
Вместо того чтобы вводить в (6.3.1) 32 экземпляра ХЛ, мы могли бы ввести
любую алгебру токов с с= 16, и это обстоятельство дает нам еще один повод
к поискам более общих реализаций алгебры токов.
6.3.1. Теория с группой SO (32)
Чтобы избежать, хотя и временно, анализа некоторых трудностей,
возникающих при построении алгебры токов Es X Es, мы начнем с детального
описания 50 (32)-теории, хотя, конечно, для нас гораздо важнее теория ?8Х
Е&. Мы опишем спектр низколежащих состояний, который появляется при
квантовании действия (6.3.1) в том случае, когда граничные условия для
всех 32 %А одинаковы, т. е. когда группа симметрии есть SO (32). При этом
мы будем относительно кратки, поскольку собственно квантование как
правых, так и левых мод уже было проведено в предыдущих главах.
В точности как в RNS-модели, фермионные координаты могут подчиняться либо
периодическим, либо антипериодическим граничным условиям. Соответственно
можно построить два фо-ковских пространства, и свойства обоих пространств
мы будем использовать. Ясно, что если бы мы собирались нарушить 50 (32)-
симметрию, то число вариантов было бы значительно больше: одни фермионы
можно было бы взять периодическими, а другие-антипериодическими. Мы же
будем рассматривать 50 (32)-симметричный вариант и соответственно
ограничимся только двумя указанными секторами, сохраняющими нашу группу.
Периодический сектор, который мы будем обозначать буквой Р, представляет
собой аналог рамоновского сектора, описанного в гл. 4. Для него
оо
Ял(т)= Zl2e~2in\
- 00
(6.3.3)
6.3. Гетеретическая струна
34S
где neZ, и выполняются следующие канонические антипере-становочные
соотношения:
{С, In) = ЬАВЪт+п. (6.3.4)
Антипериодический сектор, обозначаемый А, представляет аналог NS-сектора
суперструны. Он описывается аналогично в терминах мод но с reZ-)- 1/2 и с
антикоммутаторами
{kj, kf) = 6л\+5. (6.3.5)
Когда раньше мы исследовали замкнутые струны, то обнаружили, что
необходимо вводить два набора операторов Вирасоро Lm и Lm,
для правых и левых мод по отдельности. При
этом мы требовали, чтобы физические состояния удовлетворяли условиям
Lm|Q> = Lm|Q> для т > 0, а при т - 0 мы требовали
(Lq -а) | Q) = (Г0 - 5) | Й> = 0. (6.3.6)
Здесь а (и а) - константа, связанная с нормальным упорядочением,
возникающая в процессе замыкания лоренцевой алгебры. Lq (или Го)
представляются в виде р2/8 + ./V (или р2/8+ Я), где N и N составлены из
осцилляторов. В правом секторе для описания фермионных степеней
свободы мы воспользуемся попереч-
ными переменными, описанными в пятой главе. Таким образом, в поперечных
модах мы получаем
00
N = I (а_" • а" + nSa-nSan). (6.3.7)
1
(Эквивалентная формула через моды ipt* выписана в гл. 4.) С другой
стороны, для левых мод
оо
N = ? (а_я • ап + пХ-"Хп) (6.3.8)
1
в секторе Я, и аналогично
N = Z й_л • ап + Z rXtX (6.3.9)
1 1/2
в секторе А.
Теперь нам предстоит определить значения констант а и а в (6.3.6). Для
первой константы ответ тривиален: вследствие суперсимметрии а -0, в
точности как в гл. 5; что же касается
а, то для ее вычисления надо воспользоваться некоторыми результатами
из глав 2, 3, 4. А именно, мы можем использовать, информацию о вкладе
каждой из интересующих нас мод в кон-
;346
6. Неабелева калибровочная симметрия
станту нормального упорядочения; в гл. 2 мы установили, что каждая
физическая бозонная координата вносит по 1/24, а в конце разд. 3.2.4
вычислили, что фермионные координаты с полуцелыми индексами дают по 1/48,
а с целыми - по -1/24. Последний результат был получен несколько иным
образом и в гл. 4. Собрав вместе все эти вклады, мы получаем значения а в
двух рассматриваемых секторах:
32
24 1 48
_ _ _8_________32 _ _ i
йр ~~ 24 24
(6.3.10)
Поскольку а = 0, то первое уравнение в (6.3.6) представляет -собой
