Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
условие массовой поверхности
p? = -8N, (6.3.11)
:из которого немедленно следует отсутствие тахионов (поскольку оператор N
неотрицательный), что, впрочем, и следовало ожидать в суперсимметричной
теории. Комбинируя уравнения (6.3.6), мы получаем в секторе А
(масса)2 = N + N - 1, (6.3.12)
причем N = N - 1, а в секторе Р
(масса)2 = N + N + 1, (6.3.13)
где N = N-\- 1. Поскольку в соответствии с (6.3.11) для безмассовых
состояний N =0, то мы приходим к выводу, что безмас-совые состояния в
секторе А должны иметь #= 1, а в секторе Р Я = - 1. Но оператор N - это
неотрицательно определенный оператор, а значит, в секторе Р нет вообще
безмассовых состояний и можно ограничиться рассмотрением только сектора
А.
Пространство безмассовых частиц представляет собой тензорное произведение
пространства, порожденного правыми модами с N = 0, и пространства,
порожденного левыми модами с N=1 (в секторе А). Состояния правых мод с Af
= 0 образуют в точности мультиплет D = 10 суперсимметричной теории Янга -
Миллса, совсем как в случае открытых суперструн в тл. 5, и записываются
следующим образом:
Юя и |d)s.
(6.3.14)
6.3. Гетеротическая струна
347
Относительно группы spin (8) бозоны классифицируются как 8V, а фермионы -
как 8С. Для левых мод с N = 1 имеются две возможности. Во-первых,
31., I 0>. (6.3.15)
Очевидно, что эти состояния образуют SO (32)-синглет. В (6.3.15) имеется
восемь поперечных физических состояний, относительно поперечной группы
вращений они преобразуются как вектор. Вторая возможность - это
^)/2А%2|0>. (6.3.16)
Эти состояния, напротив, образуют синглет по группе Лоренца, а по
50(32) лежат в присоединенном представлении
(антисимметричные тензоры второго ранга). Тензорное
произведение
мультиплета суперсимметричной теории Янга - Миллса (6.3.14) на восемь
состояний (6.3.15) дает нам 16X8 состояний мультиплета (N = 1)-
супергравитации. А именно, в бозонном секторе
I Од(r) 1 О)^ (6.3.17)
- это 64 состояния, распадающиеся на симметричный бессле-довый тензор
(гравитон), антисимметричный тензор и скаляр. Аналогично, в фермионном
секторе
I <i)R (r) "'li I 0)д (6.3.18)
- это 64 состояния, образованные гравитино %f, удовлетворяющим
Y^X? = 0. (6.3.19)
а потому имеющим 56 независимых компонент, и восьмикомпонентным спинором
Ха, соответствующим свертке
Тензорное произведение состояний (6.3.14) на 32-
•31/2 = 496 состояний из (6.3.16) дает 16-496 состояний муль-
типлета суперсимметричной теории Янга - Миллса с группой SO(32). Заметим,
что безмассовые состояния с спином единица сами собой попали в
присоединенное представление калибровочной группы, хотя a priori это
вовсе не следовало из нашей конструкции. Мы же знаем из возникающей в
низкоэнергетическом пределе теории Янга -Миллса, что присоединенное
представление - это то самое представление, которое необходимо для
получения осмысленной теории со взаимодействием.
Выше мы описали два типа граничных условий для фермионов, совместных с
50(32)-симметрией, - сектор Р и сектор Л.
:348
6. Неабелева калибровочная симметрия
Сектор Р не дал никакого вклада в спектр безмассовых частиц, что может
навести на мысль о возможности и вовсе сбросить его со счетов как
малоинтересный объект. Однако когда в гл. 9 мы будем исследовать петлевые
диаграммы, то станет ясно, что для выполнения условий унитарности сектор
Р необходим в не меньшей степени, чем сектор А, а чуть ниже, в разд. 6.4,
мы предложим альтернативную конструкцию теории, в которой оба сектора
автоматически участвуют совместно. Таким образом, чтобы быть готовыми к
подобному повороту событий, мы будем учитывать оба (Р и А) сектора нашей
модели.
При рассмотрении сектора А (сектора с безмассовыми частицами) мы видим,
что условие N = ft-1 имеет довольно интересное следствие. Собственные
значения оператора N, определенного в (6.3.7), могут быть только целыми,
а собственные значения N - как целыми, так и полуцелыми. Причем полуце-
лые значения ft получаются тогда, когда на основное состояние действует
нечетное количество осцилляторов №. Эти значения не дают никакого вклада
в физический спектр, поскольку в правом секторе невозможно найти ни
одного состояния, удов-.летворяющего равенству N = ft-1. Таким образом,
условие N = ft - 1 фактически исключает все состояния, порожденные
нечетным числом осцилляторов №, что поразительно напоминает операцию GSO-
проектирования, которая, как мы знаем, обеспечивает пространственно-
временную суперсимметрию. Естественно ожидать, что GSO-проекция
необходима и в секторе Р. И действительно, в гл. 9 мы обнаружим, что
именно этого требует от нас условие унитарности на однопетлевом уровне.
Кроме того, мы убедимся, что GSO-подобное проектирование автоматически
возникает (как в Р, так и в Л секторе) в альтернативной конструкции разд.
6.4. В секторе Р условие GSO-подобного проектирования можно
сформулировать, потребовав, чтобы физические состояния отвечали
собственному значению + 1 оператора (-l)77, который антикоммутирует со
