Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
всеми №. Этот оператор равен
(-1)' = М-1)Ь-Д1 (6.3.20)
1
где
l0 = kX...lf (6.3.21)
- произведение фермионных нулевых мод.
Рассмотрим теперь спектр первого возбужденного уровня. Состояния на этом
уровне можно порождать двумя разными способами. Если для описания левых
мод используется сектор .А, то необходимо взять N = 1 и ft = 2, а если
сектор Р, то
6.3. Гетеротическая струна
349
N= 1, N - 0. Что же касается правого сектора, то в любом •случае он будет
представлен мультпплетом N = 1 открытой суперструны, который, как мы
убедились в гл. 5, соответствует супермультиплету D = 10, разлагающемуся
по группе spin (9) как (44 + 84) в + 128f. Его состояния будут тензорно
умножаться на состояния, порожденные осцилляторами левого сектора. Вот
все возможные состояния в секторе А с fit = 2:
а_2|0), a'-ict-JO), a-iXii/2X-i/2\ 0),
^1/2^3/2 10), ^,/2^-1/2^1/2^1/2 10). '
Единственное допустимое состояние с JV = 0 в секторе Р - это спинор | а>
группы spin (32), удовлетворяющий GSO-подоб-.ному условию Х0|а) = |а)
(его аналог в пространственно-временном контексте - условие Вейля).
Размерность этого представления равна 215, что само по себе число
немалое, а вместе секторы А и Р дают 73 764 состояния! Умножив тензорно
этот набор на 256 возбуждений правого сектора, мы получим в итоге 18 883
584 состояния на первом возбужденном уровне гетеротической струны.
Поскольку преобразования суперсимметрии действуют лишь в правом секторе,
то сама конструкция гарантирует нам, что эти состояния образуют
супермультиплет. Аналогично можно утверждать, что они образуют некий
мультиплет и по группе spin (32), поскольку эта группа действует лишь на
состояния левого сектора.
Как мы показали в приложении 5.А, все представления группы spin(2n)
разбиваются на четыре класса эквивалентности. В описанной выше
конструкции состояния сектора А всегда содержат четное число ^-
осцилляторов, и, следовательно, им отвечают тензорные представления,
причем с тензорами лишь четного ранга. Все такие представления
принадлежат к тому же классу эквивалентности, что и присоединенное
представление. В секторе Р на первом возбужденном уровне мы получили одно
из двух фундаментальных спинорных представлений. Тот факт, что все
остальные допустимые состояния можно породить, действуя лишь четным
числом А,-мод (чтобы обеспечить (-l)f=l), означает, что и все остальные
состояния в этом секторе, возникающие на высших массовых уровнях, будут
принадлежать к тому же классу эквивалентности. В итоге мы видим, что в
полный спектр нашей теории входят лишь два из четырех возможных классов
эквивалентности представлений группы spin (32). Именно эта ситуация
имеется в виду, когда говорится, что истинная группа симметрии теории -
это spin(32)/Z2, а не, скажем, spin(32) или 50(32).
350
6. Неабелева калибровочная симметрия
6.3.2. Теория Е8 X Е&
Итак, мы описали основные элементы конструкции гетеро-тических струн.
Физическое пространство представлено в виде тензорного произведения двух
секторов, причем моды правого-сектора оказались ответственными за
суперсимметрию, а моды левого - за калибровочную инвариантность. При этом
суперсимметрия обеспечила отсутствие тахионов. Теперь перед нами стоит
следующая задача: понять, каким образом можно распорядиться этой
структурой, чтобы получить вместо SO (32) более интересную и несколько
непривычную калибровочную группу- е8хе8.
Строя теорию spin (32)/Z2, мы приписывали всем 32 компонентам поля КЛ
одни и те же граничные условия, либо А, либо-p. руководствуясь при этом
заботой о сохранении симметрии. Если же теперь мы решим, что 50(32) можно
нарушать, то это ограничение снимется, и мы сможем часть %А подчинить
одним граничным условиям, а остаток - другим. На первый взгляд здесь
возникает просто пугающее количество возможностей и, более того,
представляется, что все они приводят к потере симметрии в той или иной
степени. Однако теперь мы покажем, что большая часть этих вариантов
несовместима с условием ,N - N-1, но все же одна, и довольно
привлекательная,, возможность существует. Причем никакой потери симметрии
при этом реально не происходит, хотя часть симметрии spin (32) /Z2
действительно пропадает, но эти потери компенсируются новым, совершенно
неожиданным образом. Конкретнее,, мы получим группу симметрии Es X Eg,
которая в некотором смысле столь же велика, как и SO (32) (обе имеют по
496 генераторов), но гораздо более интересна.
Представим себе, что мы строим теорию с некоторой группой, меньшей чем
spin (32), например spin (n)X spin (32- п). Естественно, что мы разобьем
32 левых фермиона на две группы по п и 32 - п штук соответственно. Если
ожидаемая калибровочная симметрия должна быть всего лишь SO (п)Х SO (32-
п)" то нет никаких оснований подчинять обе группы одним и тем же
граничным условием и мы можем независимо помещать каждую из них либо в
сектор Р, либо в сектор А. В результате возникают четыре комбинированных
сектора, которые мы обозначим как АА, АР, РА и РР, где первая метка
