Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, откуда берется в (6.2.4) такая большая группа, как SO (2d)
X SO (2d)? Каким образом естественная симметрия SO (d) для системы d
свободных бозонов ф* разрастается до SO (2d) X SO (2d) ? Ответ на все эти
вопросы заключается в том, что, как это ни удивительно, система из d
свободных бозонов может обладать симметрией SO (2d) X SO (2d). Для
реализации этой возможности необходимо наложить на нулевые моды этих
бозонов в высшей степени специальные дополнительные условия, с которыми
мы впервые столкнулись в разд. 3.2.4. Именно эти специальные условия
ограничат группу Лоренца до SO(D-1,1), и в следующем разделе мы
существенно проясним все эти вопросы.
Полезно, прежде чем погружаться в исследование (6.2.3) и
(6.2.4), взглянуть на них с несколько более абстрактной точки зрения.
Например, рассматривая действие (6.2.3), можно естественным образом
определить фермионный ток как ток левых частиц (заменив ст+ на ст):
П(а)=-^ТаАВКЛ+(а)1В+(а). (6.2.5)
"Чтобы избежать путаницы с фермионными полями, мы обозначили (п X п)-
матричное представление генераторов символом Та вместо Ка. Они образуют
алгебру
[Та, Ть\ = ifabcT° (6.2.6)
и соответственно удовлетворяют перестановочным соотноше-
ниям
[П (a), J\ (а')] = ifabcJ% (а) б (а - а') + ~ баЬб' (а - а').
(6.2.7)
338
6. Неабелева калибровочная симметрия
Первый член возникает стандартным каноническим образом,, а что касается
второго, называемого швингеровским членом, то он представляет собой с-
числовую аномалию, которая может быть вычислена из диаграммы рис. 6.3.
Это вычисление очень просто, оно буквально повторяет вычисление аномалии
в алгебре Вирасоро в разд. 3.2.2 >).
Алгебра Ли (6.2.7) носит название центрального расширения аффинной
алгебры Ли SO{n) \ центральное расширение означает наличие швингеровского
члена. Заметим, что для любой конечномерной алгебры Ли G мы можем
определить, следуя формуле (6.2.7), соответствующую аффинную алгебру G.
Вычисляя диаграмму рис. 6.3, мы обнаружим, что если токи (6.2.5)
Рис. 6.3. Диаграмма, из которой находится значение с-числовой аномалии в
коммутаторе фермионных токов в размерности 1 + 1.
строятся из одного n-мультиплета фермионов в фундаментальном
представлении группы SO(n), то k= 1.
Вообще говоря, мы можем ввести свободные фермионы, принадлежащие не
фундаментальному, а какому-то другому вещественному представлению R
группы SO (л)2). Определенные по формуле (6.2.5) токи будут подчиняться
перестановочным соотношениям аффинной алгебры Ли (6.2.7), но с некоторым
другим значением k. И действительно, вычисляя k с помощью диаграммы рис.
6.3, где два тока образуют простую петлю, мы получим чисто групповой
фактор, равный trR ТаТь, т. е. следу произведения двух генераторов в
представлении R. Следовательно, k пропорционально этому следу. Чтобы
сформулировать утверждение точно, введем следующие обозначения: Т - некий
генератор SO(ti), a trR и trf - операция взятия следа соответственно-в R
представлении и в фундаментальном представлении группы SO(n). Обозначим
через kF значение k для фундаментального представления F (которое
является n-компонентным векторов
*) В частности, при вычислении рис. 6.3 не надо брать никаких интегралов,
проще всего работать в координатном представлении, где диаграмме
соответствует просто произведение двух фермионных пропагаторов.
2) Мы можем ограничиться рассмотрением только вещественых представлений,
поскольку требование эрмитовости (и SO (п)-инвариантности) фермионного
действия все равно заставит нас расширить любое комплексное-или
псевдовещественное представление, добавить к нему соответствующее:
сопряженное.
J
6.2. Алгебра токов
339
по SO(ti)) и через kR - его значение для любого другого представления R.
Тогда
kR/kF = trRT2/trFT2. (6.2.8)
В формуле (6.2.7) мы выбрали нормировку так, что k - 1 в фундаментальном
представлении. В зависимости от выбора представления R, необязательно
неприводимого, k может принимать любые целые положительные значения1).
Можно получить, например, k = п, если считать, что R содержит п
"ароматов", т. е. п штук фундаментальных представлений группы SO(n).
Интересно отметить, что вне зависимости от выбора представления в (6.2.5)
k всегда будет целым; это свойство имеет чрезвычайно глубокий смысл с
точки зрения теории аффинных алгебр Ли. "Хорошие" представления 2)
появляются у алгебры
(6.2.7) только в том случае, если k правильно квантован, и это
утверждение верно не только для SO(n), но и для всякой аффинной алгебры
Ли G, основанной на произвольной конечномерной алгебре Ли G. Коэффициент
k в (6.2.7) квантуется у любой G, от нее зависит лишь, какие именно будут
"кванты". К сожалению, попытка объяснить, почему для "хороших"
представлений k обязан квантоваться, увела бы нас слишком далеко в
сторону.
В случае группы SO(ti) из общей теории следует, что k может быть
произвольным неотрицательным целым числом и, более того, система из п
свободных фермионов, дающая k=l, является в некотором смысле минимальной
