Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
представляет собой не что иное, как вершинную часть с нулевым импульсом
фотона. Графически, дифференцируя почленно ?(р), получаем
т. е.
1
1 - 7)-----------^
| др"
ЭЕ
1 <9Е
1 - 7)---------^
| др"
+ •
(5.18)
Итак, получено линейное уравнение относительно дТ^/др^. В частности, из
(5.18) следует тождество Уорда:
В уравнении (5.18) можно проделать процедуру вычитания так
278
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
же, как и для вершинной части. Действительно,
-Jr-G 1(р) = ~^-[т -р+ ?(р)]
дРи дРи
н----
Вводя перенормированную функцию Грина, согласно G 1 = Z2 1GC х, где Z^1 =
1 - ?'(га), прибавляя и вычитая почленно Е'(т) (что экви-
валентно прибавлению и вычитанию Л(m,m)), получим выражение:
в которое входит только перенормированный заряд ес и которое не содержит
расходимости.
Аналогично можно построить похожее по структуре линейное уравнение для
dll(k2)/dkfl и убедиться, что его также можно перенормировать.
Таким образом, все можно выразить через перенормированные величины, заряд
и массу, и нигде при этом расходимость не встретится. Эти выводы мы
получили, исходя из теории возмущений, и на самом деле у нас нет
уверенности, что они останутся верными при выходе за ее рамки.
+ •••
т
т
5.2. Проблема нуля заряда в квантовой электродинамике 279
5.2 Проблема нуля заряда в квантовой электродинамике
Мы строили квантовую электродинамику следующим образом. Ввели функции
Грина электрона и фотона
= G
- ,
рассмотрели простейшее взаимодействие
В случае 7г-мезона нам понадобилось более сложное взаимодействие
/
/
/ /
Еще более сложные взаимодействия вводить нет смысла, так как теории
получаются неперенормируемыми.
Построенная таким образом теория оказалась в блестящем согласии с
экспериментом. Однако и она на очень малых расстояниях перестает
работать; с этим как раз и связана проблема нуля заряда, которую мы
собираемся обсуждать.
Мы видели, что диаграммы
280
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
расходятся в области больших виртуальных импульсов и при этом оказываются
практически не зависящими от внешних импульсов, например,
от pi и р2 не зависит, так как pi,p2 к. В области больших к (т. е. малых
расстояний) интеграл расходится, т. е. теория неприменима, поэтому мы
ввели параметр обрезания А, причем в области интегрирования около А при
pi,p2 А интеграл не зависит ни от pi, ни от р2. Далее мы ввели Г(т, ш, 0)
и вычли ее из Т(р\,р2,к), и все оказалось сходящимся, а то, что мы ничего
не знаем при больших к, вошло в константы перенормировок, т. е.
фактически в перенормированный заряд
Однако все эти рассуждения справедливы при не очень больших внешних
импульсах, а именно: мы полагали Р\,Р2 < А. А что произойдет, если мы
будем увеличивать внешние импульсы, т. е. при р2/тп2 1? (Впервые эта
задача была поставлена Гелл-Манном и Лоу, а решена Ландау, Абрикосовым и
Халатниковым.)
Рассмотрим поляризационный оператор фотона
5.2. Проблема нуля заряда в квантовой электродинамике
281
Мы вычислили
п W(k2) = - In - с [ ' Зтг то2'
Первые члены теории возмущений, таким образом, будут выглядеть
1 &_1_ _1_Л , "с,
к2 к2 Зтг П ш2 к2 ~ fc2 V Зтг П ш2; ¦
То есть при больших к2 ряд может разойтись, и теория возмущений перестает
работать. Ясно, что член
содержит уже In2 k2jnr?, и, вообще говоря, более сложные диаграммы будут
расти еще сильнее с ростом к2. В вершинную часть же (5.19) основной вклад
дают фотоны с большим к ~ Л.
Однако посмотрим на интеграл (5.19), он содержит
1
------:---- х • • •
m - pi + к
С усложнением диаграмм растет число знаменателей, а вместе с ним и
степень р в знаменателе. То есть с увеличением р подынтегральные
выражения будут падать. Это происходит, однако, только при р ~ Л,
поскольку основной вклад в интеграл дают к ~ Л.
Введем достаточно большое Л и рассмотрим область
р2 > ш2 , А.2/р2 > 1 .
Тогда (5.19) примет простой вид:
282
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
так как легко убедиться, что основной вклад в интеграл (5.19) будет
давать область р <С к <С А. Выберем Л так, чтобы
Л2
а0 In - ^ 1, а0 < 1. (5.20)
рл
Тогда вершина, например, будет иметь следующую структуру:
г = ^ "о lnm ~2^ппг =
п'^гп ^
Л2 Л2 Л2
= 1 + с^о In -- + cvq In2 -- + olо In -- + • • • (5.21)
pi pZ pZ
Ясно, что наибольший вклад дадут члены ~ "о lnnA2/p2 ~ 1, а члены ~ aq+1
lnn Л2/р2 ~ "о будут уже малой поправкой, т. е. можно записать
Г = /i In -+ "0/2 (^о In + ' ' ' (5.22)
Можно ограничиться первым членом (главное логарифмическое приближение),
тогда задача упрощается. Определим Г, G, D в этом приближении.
Нарисуем скелетные диаграммы
I I I
Г =
Первое упрощение связано с тождеством Уорда:
е2 = Zr2Z22Z3e§.
Так как Z\ = Z2, то расходимости, связанные с вершинной частью и функцией
Грина электрона, в заряде сокращаются. А следовательно,
5.2. Проблема нуля заряда в квантовой электродинамике
283
можно переформулировать теорию так, чтобы они вообще не встретились. Это
можно сделать подходящим выбором калибровки. В данном случае, следуя
