Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
это явно несправедливо. При fco ^ Zam такое приближение работает, однако,
когда fco меньше энергии связи, тогда существенно то, что электрон
связан.
к к
'
1----------------/
ко ^ Zam
Однако при fco <С га электрон нерелятивистский, и вклад от таких фотонов
можно вычислить при помощи нерелятивистской квантовой механики. Поскольку
в нашем случае aZ < 1, то области fco Zam и fco <С га перекрываются;
приравнивая интегралы по области перекрытия, вычисленные двумя способами,
можно выразить величину Л через параметры нерелятивистской теории. Из
такого сравнения вытекает, что
, т , т 5
In - = In------h
Л 2^0 6
где ?о - средний потенциал ионизации атома. Здесь является существенным
то обстоятельство, что Za <С 1. При Za ~ 1 области перекрытия вообще нет,
поскольку электрон в этом случае всегда релятивистский, и поэтому расчеты
возможны только численные.
Чтобы получить полное выражение для лэмбовского сдвига, следует еще
добавить вклад аномального магнитного момента (4.98). Это приводит к
дополнительному слагаемому 3/8 в квадратных скобках в уравнении (4.126).
Окончательно получаем
Глава 5
Трудности квантовой электродинамики
5.1 Перенормировки и расходимости
Выше мы рассмотрели следующие величины: функцию Грина электрона G,
функцию Грина фотона D^v и вершинную часть Гм. Убедились, что через них
выражаются все наблюдаемые величины. Мы показали, что точные функции
Грина имеют вид:
G =------} D= 1
m0-p + E(p)' fc2[l-II(fc2)]'
Функция G, вообще говоря, не имеет полюса при р = то, т. е. эта "голая"
(или затравочная) масса не имеет физического смысла. Далее мы явно
выделили полюса этих функций, сопоставив им физические (или
перенормированные) массы га, и записали функции Грина в виде:
°м = ",-Дс(й=^м.
где
ВД) = и {, _ т)2_
^2 = 1
1 - Е'(то) ' Аналогично, функция Грина фотона
260
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
Перенормированная масса фотона остается равной нулю. Для вершинной части
мы получили
, Г?(т, т) = 7М.
Далее было показано, что все графики выражаются через перенормированные
величины Г^, Gc, Dc точно так же, как и через неперенорми-рованные Гм, G,
если ввести перенормированный заряд
е2 = Z3e2
и заменить "голые" массы на перенормированные (было показано, что Zi =
Z2).
Таким образом, все физические величины можно выразить через наблюдаемые
заряд и массу. Возникает вопрос, можно ли вычислить ес и га через
затравочные величины? Оказывается, нельзя, поскольку интегралы
расходятся. С другой стороны, нам пришлось ввести перенормированные Gc,
Dc, Гс, а чтобы это имело смысл, мы должны показать, что в эти величины
не входят ни затравочная масса, ни затравочный заряд. Для этого нам нужно
найти уравнения для Гс, Ес, Пс и так их сформулировать, чтобы в них вошли
только перенормированные заряд и масса, но не затравочные величины. Тогда
вся процедура перенормировок будет иметь смысл.
Выясним сначала, какие бывают расходимости и отчего они происходят.
Укажем типы расходимостей:
1. ультрафиолетовая, возникает при к -> оо;
2. инфракрасная, возникает при /с -> 0;
3. возможные полюса амплитуд.
Мы уже обсудили физический смысл инфракрасных расходимостей и показали,
что для разумно поставленных задач они отсутствуют. Что касается
последнего типа расходимостей, то при некоторых определенных значениях
внешних импульсов амплитуды, действительно, могут иметь особенности,
например, если в каком-нибудь пропагаторе окажется к2 - га2 = 0. Однако
можно доказать, что если все наружные импульсы пространственноподобны и
удовлетворяют неравенству треугольника, то эти сингулярности отсутствуют.
Это ясно потому, что в этом случае всегда можно все контуры
интегрирования в фейнманов-ских интегралах развернуть так, что все
импульсы станут евклидовыми (рис. 34).
5.1. Перенормировки и расходимости
261
Рис. 34
Физические амплитуды (которые имеют времениподобные внешние импульсы)
получаются из амплитуд с евклидовскими импульсами с помощью
аналитического продолжения. Сингулярности в этих амплитудах получаются
именно в результате продолжения. Эти сингулярности имеют непосредственный
физический смысл, связанный с условием унитарности (см. главу 3), и мы не
будем их здесь обсуждать.
Остаются лишь так называемые ультрафиолетовые расходимости, возникающие
при к -> оо.
Рассмотрим произвольную скелетную диаграмму
262
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
Очевидно, что в силу сохранения тока число внешних электронных линий
должно быть четным. Обозначим через Fe число внутренних электронных
линий, F1 - внутренних фотонных линий, Ne - внешних электронных линий и
N7 - внешних фотонных линий. Тогда амплитуда, соответствующая такой
диаграмме, будет описываться интегралом
/-------------;-------<lik1...diki-------г_ (5Л)
J кЩ ...к2р^ (/cf-,+1 - m)(kF_i+2 - m)... (kFy+Fe ~ m)
где I - число независимых внутренних линий, по которым ведется
интегрирование. Его легко определить. Пусть в диаграмме п вершин, в
каждой вершине сходятся 3 линии, причем ki + kj = ki.
