Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грибов В.Н. -> "Квантовая электродинамика" -> 56

Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.

Грибов В.Н. Квантовая электродинамика — НИЦ, 2001. — 288 c.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 .. 60 >> Следующая

j
Так как имеется п законов сохранения (^-функций) по числу вершин, а одна
из этих ^-функций выражает общий закон сохранения и не содержит
внутренних импульсов, то число независимых импульсов равно
I = Fe Fsy - Ti 1.
Если в интеграле (5.1) суммарная степень дифференциалов больше или равна
степени знаменателя, то он расходится. То есть только при
41 - 2F1 - Fe = 3Fe + 2F1 - An + 4 < 0 (5.2)
интеграл сходится. Покажем теперь, что, в действительности, это выражение
не зависит от процессов во внутренней части диаграммы, т. е. ни от Fe, ни
от F^. Она зависит только от числа внешних линий, т. е. от
5.1. Перенормировки и расходимости
263
вида самого процесса, описываемого диаграммой. Действительно, если внутри
имеем замкнутую электронную линию (см. рис. 35), то число промежутков
равно числу вершин, т. е.
п = Fe.
Рис. 35
Если электронную линию разомкнуть, то число внутренних линий уменьшится
на одну, а число внешних увеличивается на две, число вершин не изменится,
т. е.
^ Ne 71 - Fe + -¦
На каждую внутреннюю фотонную линию приходится две вершины, так как она
должна начаться на электронной линии и закончиться на электронной линии,
а на каждую внешнюю линию приходится одна вершина, т. е.
п = 2Ру 7V,-y.
Таким образом, если задано число внешних линий и число вершин, то этим
определяется и число внутренних линий:
_ Ne п N~
Fe=n---------- , F^ =--------
е 2 7 2 2
Тогда условие сходимости интеграла:
/С = 3Fe -\- 'IFry - Ап -\- 4 = --7Ve - Nj И- 4 <с 0, (^*^)
264
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
т. е. определяется числом внешних линий, как и говорилось выше. Видно
также, что когда число внешних линий велико, т. е. процесс достаточно
сложный, то, наверняка, никаких расходимостей нет и все в порядке.
Рассмотрим простейшие диаграммы.
1.
Ne = 2, N7 = О, /С = 1.
2.
Как мы уже видели, собственная энергия электрона формально расходится
линейно (реально - логарифмически).
3.
Ne = О, N7 = 2, /С = 2.
Поляризационный оператор фотона расходится квадратично, на самом же деле
калибровочная инвариантность уменьшает расходимость до логарифмической.
4.
Ne = 2, N7 = 1, /С = 0. Вершинная часть расходится логарифмически.
Ne = 0, N7 = 3, /С = 1.
Такая диаграмма расходится линейно, однако мы покажем, что из
инвариантности относительно зарядового сопряжения она обращается в нуль.
5.1. Перенормировки и расходимости
265
5.
Ne = 2, TV7 = 2, К = -1.
Ne = 4, TV7 = О, К = -2.
7Ve = О, TV7 = 4, /С = О.
Расходится логарифмически (ниже будет показано, что реально такая
амплитуда сходится благодаря калибровочной инвариантности).
Сначала покажем, что
I
i
I
I
/ \
/ \
Точно так же обращается в нуль любая диаграмма без внешних заряженных
частиц и с нечетным числом внешних фотонов. Это так называемая теорема
Фарри. Действительно, наша теория инвариантна относительно зарядового
сопряжения. Однако при зарядовом сопряжении знак волновой функции фотона
меняется: -> - ем, т. е. амплитуда для
266
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
нечетного числа фотонов должна изменить знак. Но с другой стороны, откуда
амплитуда "знает", что внутри произошло изменение частиц на античастицы?
От этого ничего не изменится, поэтому она должна быть тождественно равна
нулю. Поясним это на простейшей диаграмме:
А =
При зарядовом сопряжении эти две диаграммы меняются местами и, кроме
того, меняют знак, следовательно, их сумма равна нулю. Рассмотрим теперь
рассеяние света на свете:
ki
k2
-М-mМ2МЗМ4 (ki ч k2, кз, /^4)¦
к±
кз
В силу сохранения тока должно быть
= 0
для импульса любого из внешних фотонов к^. Рассмотрим к\ к2
(5.4)
(5.5)
1
р-к2~кз - к4
1
Р~к 2
5.1. Перенормировки и расходимости
267
Так как интеграл расходится при больших р, то ki в знаменателях можно
пренебречь и в амплитуде никакой зависимости от внешних импульсов нет.
Следовательно, расходящаяся часть амплитуды (5.4) не удовлетворяет
условию сохранения тока (5.5), поскольку величина, не зависящая от &Д, не
может дать нуль при умножении на к. На самом деле, нужно сложить все
диаграммы
+
тогда оказывается, что (5.5) удовлетворяется автоматически, а сумма
интегралов конечна. Причем все величины, удовлетворяющие (5.5), сходятся
при любом способе регуляризации, не нарушающем закона сохранения тока.
Таким образом, расходящимися оказываются только три величины: собственная
энергия электрона, поляризационный оператор фотона и вершинная часть:
I
I
I
I
Посмотрим, как перенормировки устраняют эти расходимости. Сначала будем
считать, что
G = G0, D = А),
и попробуем построить уравнение для вершинной части. По определению,
268
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
Это фактически и есть уравнение для Гм. Действительно, (5.6) можно
перерисовать и так:
+
(5.7)
Проинтегрировав (5.7), получим (5.6). Причем существенно, что в (5.7) не
входят диаграммы типа
I
I
I
5.1. Перенормировки и расходимости
поскольку такая диаграмма содержится уже в
I
I
I
Между тем диаграммы
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed