Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
величины есть
, " 9 ч о ТП
2?'
Р1
а сумма двух диаграмм есть
Ze2 Ze2m
р{ V 4pi
Второй член ~ Ze2/v может быть большим при достаточно малой скорости
электрона v = |pi|/ra, а следовательно, нужно суммировать все порядки по
Ze2, т. е. точно решать уравнение Дирака.
Мы уже просуммировали все поправки по Ze2 и получили интегральное
уравнение для электронной функции Грина в поле ядра (эквивалентное
уравнению Дирака):
254
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Вычислим теперь поправки (Ze2)ne2 к движению электрона, для этого нам
нужно рассмотреть процессы типа:
' I ' 1____________,___________
Посмотрим, как при этом изменится уравнение для функции Грина. Во-первых,
из-за поляризации вакуума изменится потенциал, т. е.
u(q)^u(q)[l + Uc(q2)\.
Кроме того, в уравнении добавится еще один член, связанный с испусканием
и поглощением фотона. В результате будем иметь
u(q)
-----------=-------------+---------X--------
Uc(q2)u(q)
+ ^+-------------------?-----
I
I
О
Рассмотрим поправку к собственной энергии электрона во внешнем поле. Если
электрон нерелятивистский, т. е. энергия связи мала: Ро - га ~ q2/2га <С
га, то в промежуточном состоянии его можно считать свободным, когда
испускаемые фотоны достаточно жесткие, так как при этом энергия электрона
ро - ко - т велика по сравнению с энергией связи. Поскольку
q2 Z2a2m 2га ~ 2 '
то для атома водорода {Z = 1) электрон, действительно, нерелятивист-
4.7. Лэмб-сдвиг
255
ский. Так что можем написать:
где в промежутках свободный электрон. (Вклад мягких фотонов обсудим
позднее.) Таким образом, наша поправка свелась к уже вычисленным
поправкам к собственной энергии свободного электрона и вершинной части.
Аналогично, в процессе
тоже можно считать электрон свободным, поскольку основной вклад в
интеграл дают электроны с большой энергией. Оценим, какова величина этих
поправок по сравнению с u = Ze2/q2.
*
nc(g>(<z)
1.
псц = Пс =__________
и 157Г т2
В атоме |р| ~ mZa, |р|2 ~ q2 ~ m2(Za)2, так что
256
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Первый член (4.119) отвечает электрону на массовой поверхности, т. е. р\
= га2, Р2 = га2. Он был найден ранее в (4.98). Последние слагаемые
учитывают то, что электрон находится в связанном состоянии, и
представляют собой первые члены разложения Ад по степеням (pi - га) и (р2
- га). Эти величины порядка Ро - га ~ q2/2га ~ Z2a2m/2.
3.
-Ес
При р ~ га имеем
?с = с(р - ш)2 ~ <?4
Однако, поскольку в эту часть не входит множитель u(q), нужно рассмотреть
Ес/г/, а эта величина
и
т. е. того же порядка, что поправки от последних членов Лм; более того, в
силу тождества Уорда,
Г"(Р,Р) = ж ,
эти поправки сокращаются с поправкой от Ес.
Таким образом, остается вклад первого члена от и поправка от поляризации
вакуума. В результате получаем эффективный потенциал вида
"2
u(q)
1
a q Зтг га2
. га 3 1
In ------------------------------
Л 8 5
Za
a q ( m 3 1
H---------^ In----------
37г га2 V A 8 5
(4.120)
Видим, что радиационная поправка не зависит от переданного импульса,
поэтому в координатном пространстве ей будет соответствовать ^-образный
потенциал
ч х, AZa2
. га 3 1
X 8 5
(4.121)
4.7. Лэмб-сдвиг
257
Таким образом, для функции Грина получим уравнение:
о2
. d (Ze2
V 47ГГ
+ й(г)
Ge = -iS(x),
и, соответственно, для волновой функции:
[ Za 4 Za2
E4f = ар + m7o Н------------b 5(г)--тг
г 3 mz
Ф.
(4.122)
Поправку за счет высших приближений можем вычислить по теории возмущений,
пользуясь нерелятивистскими волновыми функциями водородоподобного атома.
Тогда
4 Za
3 rri2
л m 3 1
In -------------------
Л 8 5
|Фп,7(0)|2,
(4.123)
где п - главное квантовое число, j - полный момент, I - орбитальный
момент электрона.
В нерелятивистском случае Фп^(0) отлична от нуля только для S'-состояний
(т. е. при / = 0). Для них имеем
|Фг
5(0)|2 = -7Г
т. е.
А Епя =
4 a(Za)4m
п
л m 3 1
'"а "8"5
(4.124)
(4.125)
или, выражая эту величину через энергию первой боровской орбиты Ев =
а2т/2, получим
л т 3 1
In -------------------
Л 8 5
Ев•
(4.126)
Сдвиг 2Si/2 -уровня относительно 2Pi/2 обусловлен как раз этой поправкой
(впервые этот сдвиг обнаружили Лэмб и Резерфорд в 1947 г.).
Выясним теперь вопрос, почему в выражение для лэмбовского сдвига (4.126)
вошла величина А? При рассмотрении рассеяния электронов у нас возникла
расходимость, связанная с малой энергией фотона; чтобы от нее избавиться,
мы и приписали фотону малую массу А. Мы говорили, что при создании
заряженной частицы возникает большое число мягких фотонов, и если их
корректно учесть, то эта масса
258
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
исчезает из конечного результата. В последнем же случае мы имеем
нейтральную систему - атом, т. е. никаких фотонов нет, поэтому в
выражение для радиационного сдвига уровней не должна входить никакая
масса. Почему же она возникла? Потому что мы заменили в диаграмме функцию
Грина связанного электрона на свободную функцию Грина. Для мягких фотонов
