Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
242
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
¦ г? ?( ч 1 + 7о 1 + 7о
= iZe5( У2-У1) 0 7й о х
х J йте-г{т2~^м-^-т^мD{x - у)0{т2 - т)в{т - п) =
= %2 -yiKoe-iM(T2-Tl)[-"(x-yi)]^^, (4.101)
где
и = -
Т 2
iZe J d,TD(t - т,х - ух)в(т2 - ti). (4.102)
При выводе (4.101) мы использовали то, что
1 + 7о 1+7о 1 + 7о 1 - 7о п
2 ^ 2 = 2--------------~Ъ=°'
1+7о 1+7о 1 + 7о
2 70 2 2 '
т. е.
1 + 7о 1 + 7о 1 + 7о (Л 1ПоЧ
-2~'= 5мо^-• (4.103)
Вычислим интеграл (4.102) при п -> -оо, то -> +оо. Имеем
/^4^ ^ -г/с0 (t-т )+гк(х-yi)
тогда
оо
/ dT I (2тт)4г /eg - к2
^4^ g -г/с0?+гк(х-yi)
- 00
/л4 -г/с0г+гк(х-yi)
Щн Ц-* s^ =
" Г d3k e*k(x"yi) Ze
= -zZe
(27г)3г -к2 47г|х - yi | '
т. е. получили выражение, совпадающее с обычным кулоновским потенциалом
для заряда Ze:
Ze , ч
и = -----------Г. (4.104)
4тг|х-у|
4.6. Уравнение Дирака во внешнем поле
243
Зависимость от координаты электрона в (4.101) вошла только в и, так что
график можно перерисовать так:
uSfj, о
----------------х------------------
X
Нижней линии соответствует свободная функция Грина тяжелой частицы
(4.100), а верхней, при т\ -> - оо, т2 -" оо, - амплитуда рассеяния
электрона внешним (кулоновским) полем, создаваемым частицей Ze, а именно:
J d4xG(x2 - x)(i^$eu(x, y))G(x - х\).
Рассмотрим следующую диаграмму:
Х\ X х" Ж2
2/1 У У" У2
Нижней ее части соответствует выражение
J G(y2 - y")ijftZeG(y" - y')ij"ZeG(y' - yi)x x D{x' - y')D(x" -
y")diy'diy" =
= ig^oZel+^°igMZe5(y2 - yi)e_*M(T2_Tl) x
x J dT,dT"D(t' - t', x' - yi)I>(i" - r", x" - y"),
причем т\ < тг < r" < т2.
244
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Если бы не это неравенство, интеграл разбился бы на произведения. Однако
диаграмме
XI х х Ж2
-----------------s------------------т------------------
\ /
\ /
\ /
\/
/\
/ \
/ \
/ \
_________________l__________________\__________________
У1 У' у" У2
соответствует такое же выражение, но с другими ограничениями на
переменные интегрирования: т\ < тп < т' < т2. Так что сложение этих
диаграмм означает просто переход к интегрированию по всем г', г", и в
результате для суммы будем иметь
Х\ X х" Ж2 Х\ X х" Ж2
----1-----1-- ---^----7---
II 4 7
| | + /\ ~G(y2-yi)[-u(x'-yi)][-u(x"-yi)].
I____I ___/____\___
У1 У2 У1 У2
То есть результат опять разбился на две части: свободное движение тяжелой
частицы и рассеяние электрона на кулоновском поле этой частицы; это
соответствует тому, что тяжелая частица не чувствует ни отдачи, ни
изменения времени. Сумме этих диаграмм можем сопоставить, как и прежде,
график
У1
У 2
Аналогичная ситуация возникает и в следующих порядках, т. е. полную
4.6. Уравнение Дирака во внешнем поле
245
амплитуду рассеяния на тяжелой частице можно представить в виде
Х\ Ж2
Х\ Ж2 Х\ Х2 Xi Х2
+ -к- + -*-*- +
У1 У2 yi У2 yi У2
+ ••• =
У1 2/2
= G(y2 - yi)Ge(x2,x1-,y1), (4.105)
где Ge - функция Грина электрона во внешнем поле. Будем ее изображать
жирной линией, т. е.
Х\ Х2
-X-
XI
Х2 XI х Х2 (4.106)
Это не что иное, как интегральное уравнение для функции Грина электрона в
графическом виде, его можно переписать так:
Ge(x2, Xi; yi) = G(x2 - Xi)+
+ J d4xG(x2 - x)[ie^0u(y.,yi)\Ge{x,xi-,yi). (4.107)
От интегрального уравнения легко перейти к дифференциальному, если
вспомнить, что
(*7а1Жс----m) = ~iS^'
Подействовав на (4.107) оператором - га, получим
(*7йдж------ТО) Ge(a:2,a;i;yi) =
= -id(x2 - xi) + e70u(x2,yi)Ge(^2, xi; yi),
246
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
т. е.
Им
д
дх
2(1
- то - е7ои Се(х2,х1;у1) = -iS(x2 - xi).
(4.108)
Как обычно, функцию Грина можно представить в виде
Е^ЫФ+*(ж1), t2>tl
Ge{x2,x i; yi) = <
-ЕФп(Ж2)Фп*(Ж1), t2 < ti
где - волновые функции электрона, удовлетворяющие уравнению
Нм
д
дх'
2IL
т- 7о
Ze2
47г|х - у 11
фп((r)) = 0.
(4.109)
Это есть уравнение Дирака для электрона в кулоновском поле.
Мы пока рассмотрели все поправки по Za, связанные с обменом фотонами, и
получили
-х-
-х-
etc.
и т. д.
Однако есть поправки, например, такого вида:
4.6. Уравнение Дирака во внешнем поле
247
Ясно, что суммирование таких диаграмм одинакового порядка, как и раньше,
эквивалентно переходу к интегрированию по всем промежуточным временам, а
следовательно, интегралы разобьются на отдельные сомножители.
Для второго порядка будем иметь
G(y 2 - Vi) i^-Z2e2 J dr'dr" D00(t' - r")| r' < r". (4.111)
1/2! возникает из того, что число независимых диаграмм в 2! раз меньше
числа перестановок. Аналогично, для n-го порядка
G(y2-yi) ^-Z2e2 J dT'dTf'D00(Tf -т")^ т' < т". (4.112)
Если все сложить, получим
- Z2e2 f dr'dr"Dqq{t' -t")
G(y2 - yi)e T1 rf < r" . (4.113)
Переходя к новым переменным в интеграле г = т" - т', х = т" + т', имеем
-(r2-ri)Z2e2 2 Г 1 drDoo(r)
G(y2-yi)e о , r'<r". (4.114)
При т2 ->• оо, ri ->• - оо легко убедиться, что интеграл в показателе
экспоненты чисто мнимый:
оо оо
Г Г dAk e~ikoT f f d3ke~i\k\T J dTJ (2ТГ)4 k2 - is ~ J J 2\k\(2ir)3
'
0 0
Интеграл no dr равен
oo
