Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
I I
I I
I I
I I
расходятся по-разному. Выясним, как именно.
1.
Pi - ki - m
f d4ki J ~W
rp2 k\ m
Pi
P 2
так как расходимость возникает при k\ Рь_Р2, тп.
270
2.
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
(а) При к2 фиксированном расходимости нет, имеем при к\ к2
оо
[ d4k 1 1
/ к8 ~ ~к^'
J ^1 ^2
Интегрирование по dAk2 теперь дает
/
d4k2
Ц
' 1пд.
(b) Если, наоборот, к2 fci (fci фиксированно), то будем иметь
Л
/
/ei
dAk2 Л Л2
Z-4 ^ •
^2 ^1
При интегрировании по d4ki получим
f d4ki Л2 2 Л2
У kt n ki ~п р2 •
То есть расходимость усилилась по сравнению с
. И это
1. Перенормировки и расходимости
естественно, поскольку в графике
271
I
I
I
I
содержится прежняя вершина ~ In А2/р2 и фактически еще одна диаграмма
I
I
I
I
3. Вторая диаграмма
I
! к
Интеграл сходится, если интегрировать по <i4?;2 при фиксированном к\ [к>2
^ к\) или, наоборот, интегрировать по d4k\ при фиксированном к2 (к\ fc2).
Единственная ситуация, когда интеграл
может разойтись, - это fci ~ &2, при этом получим
Г d4k , Л2
272
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
Это рассмотрение можно провести для более сложных диаграмм и получить
важное утверждение: сколько бы членов с точными вершинными частями мы ни
взяли в разложении (5.7) (скелетные диаграммы), все они расходятся только
логарифмически. Поэтому, как мы увидим, процедура вычитаний
(перенормировок) приводит к конечному результату, и можно написать
уравнение для вершинной части, которое вообще не будет содержать
расходимостей.
Построим это, полностью конечное, уравнение для вершинной части. Полная
вершинная часть может быть записана в виде
^u.(Pi,P2,q) =7м + Лй(РьР2,д)- (5-8)
На массовой поверхности имеем
Лй(ш,ш,0) = 7йЛ(т,т,0). (5.9)
Представим уравнение (5.8) в виде
^n(Pi,P2,q) = 7/Л1 + А(ш,ш,0)) + AIM(p1,p2,q) - Лм(то,то,0). (5.10)
В терминах разложения по скелетным диаграммам уравнение (5.10) имеет вид:
Г^(Р1,Р2,Ч) =7А1(1 + Л(то,то,0))+
I I
I q I 0
I I
I I
V1 Р2
(5.11)
Уравнение (5.11) содержит Гм и в правой, и в левой части, т. е. это
интегральное уравнение для вершинной части. Подставим в (5.11) в виде
гм = г^г\
5.1. Перенормировки и расходимости
273
где
Zf1 = 1 + Л(га, га, 0).
Тогда получим
= 7м+
(5.12)
Z-,-1 в верхних вершинах сократились, а в остальных дали
перенормированный заряд ес = Z^xe (мы пока отвлекаемся от перенормировок
функций Грина). Расходимость же исчезла, поскольку в каждом порядке под
интегралы входят разности:
0
Г(0, m - k,m - k) Г (ж, m - k,k)
Pi
P2
которые стремятся к нулю при к -> оо в силу замечательного свойства:
Г(а, Ь, с) -> Г(Ь) при 6^>а,с,
т. е. Г зависит от наибольшего импульса. Это свойство легко подметить из
того же уравнения или прямо из диаграмм теории возмущений.
274
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
Перейдем теперь к реальной задаче, когда функции Грина электрона и фотона
точные. Вершинная часть будет иметь вид:
Как и в предыдущем случае, введем
(5.13)
^ = ^Г1^.
Прибавляя Лм(т, т,0) = 7мЛ(т,т,0) и вычитая почленно, получим, аналогично
предыдущему,
+
(5.14)
Как и прежде, Z-,-1 в верхних вершинах сократятся, а в остальных появится
множитель кроме того, так как G = ^Сс, D = Z^DC,
1
в каждой вершине появятся множители Z2Z^. Вместе они дадут
перенормированный заряд
ес = eZx 1Z2Z3 ,
5.1. Перенормировки и расходимости
275
а поскольку Z\ = Z2,
е2 = Z3e2.
Таким образом, действительно, мы получили интегральное уравнение для
перенормированной вершины Г^, в которое входят только перенормированный
заряд ес и перенормированные функции Грина электрона и фотона Gc и Dc.
Оно будет конечным, если нам удастся построить конечные уравнения для
функций Грина.
Начнем с
G
Go
Для собственной энергии имеем
+
-Чр)
Go G
(5.15)
-ад =
Обратим внимание, что здесь в начале стоит 7^, а не точная вершинная
часть, поскольку все процессы начинаются с точки:
а далее может происходить все, что угодно. Таким образом,
/d4k
(2тг)4lflG^P ~ k^T^P ~ к,Р' (5Л6)
Это уравнение Швингера-Дайсона. Аналогичное уравнение можно также
получить и для поляризационного оператора фотона:
276
Глава 5. Трудности квантовой электродинамики
т. е.
IWfc2) = -e2Sp J k - p)G(k - p)}. (5.17)
Пользы, однако, от этих уравнений мало, поскольку интегралы для Е(р) и
Прасходятся. Но нас интересуют не сами Е(р) и П(/с2), а разности вида
Е (р) - Е (ш) - Е '(т)(р - ш),
так как именно они входят в функции Грина. Такое двойное вычитание и
устраняет расходимость.
Посмотрим, как это происходит. Для этого рассмотрим производную 9Е
(р)/др^. Произвольный член разложения собственной энергии электрона имеет
вид:
ki
кз
к2
/ /
/ /
/ /
I /
J_____________I_______
р р - ki р - ki - к2
Р~ к3
Таким образом, имеется одна электронная линия, и внешний импульс р входит
в виде разностей р - к\ ,р - к\ - к2 и т. д. Производная от каждого
электронного пропагатора будет иметь вид:
5.1. Перенормировки и расходимости
277
Таким образом, производная содержит уже два пропагатора и 7М, т. е.
