Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
2) Ty (— т) = Ту (т), (3.8.31)
3) ITy(T)Kiry(O)I.
Разложив аналитические сигналы на их действительные и
мнимые части, можно легко показать, что величина (3.8.30) принимает вид
ГУ (т) = [Tfr '> (т) + Tfr V)] + / [Tfr г)(т) - Tfr '>(T)]- (3.8.32) Случайные процессы 109
На основании формул (3.8.24) и (3.8.28) непосредственно получаем
Г и (т) = 2Г(^ г) (т) + /2 Г у'г> (т). (3.8.33)
Таким образом, действительная часть комплексной автокорреляционной функции просто равна удвоенному значению автокорреляционной функции исходного действительного случайного процесса. Кроме того, учитывая выражение (3.8.29), мы видим, что мнимая часть величины Ги(т) — это просто удвоенное преобразование Гильберта автокорреляционной функции действительного случайного процесса.
Рассмотрим теперь фурье-образ функции Ги(т), который мы назовем спектральной плотностью мощности комплексного случайного процесса U (t). Выполняя необходимые преобразования, получаем
9и (V) А дг {Гу (т)} = 2Т{Т%-г> (т)} + 2АГ К'г) (т)} =
(3.8.34)
Таким образом, автокорреляционная функция Tu(v) аналитического сигнала имеет односторонний спектр Фурье и сама является аналитическим сигналом.
Наконец, рассмотрим взаимную корреляционную функцию двух совместно стационарных в широком смысле аналитических сигналов, определяемую как
Tuv(T)AE[u(t + T)v'(t)). (3.8.35)
Эта конкретная функция играет особо важную роль в теории частичной когерентности. Если ввести обозначения
и(0 = и('>(0 + /"и(,)(0. v(0 = o«r>(0 + /u(i>(0, то формула (3.8.35) дает расширенную форму Tuv (т): Tuv (т) = [r(Jv°(T) + TV (т)] + / [rtfvr> (т) - if' (T)]- (3.8.36)
Так же как в случае формулы (3.8.33), это выражение можно легко свести к более простому виду
Tuv (T) = 2Гу'уг> (т) + S2T%r) (т). (3.8.37)
Как и автокорреляционная функция, взаимная корреляционная функция двух аналитических сигналов имеет односторонний спектр Фурье и, стало быть, сама является аналитическим сигналом, как это можно продемонстрировать, пользуясь формулой (3.5.8). no
Глава З
§ 9. Комплексный гауссовский случайный процесс
В наиболее общей формулировке комплексный случайный процесс U (t) называется комплексным гауссовским случайным процессом, если его действительная и мнимая части являются совместно гауссовскими процессами. Рассмотрим действительный гауссовский случайный процесс UtrHt) и соответствующий комплексный случайный процесс состоящий из аналитических сигнальных представлений действительных выборочных функций Ut-rHt). Так как гауссовский характер распределения сохраняется при линейных преобразованиях вида (3.6.5), мнимая часть и<г>(0 гауссовской случайной функции U1-rHt), определяемая формулой (3.8.20), тоже подчиняется гауссовскому распределению. Таким образом, действительная и мнимая части процесса обе являются гауссовскими случайными процессами. Следовательно, аналитическое сигнальное представление гауссовского случайного процесса является комплексным гауссовским процессом. Однако не всякий комплексный гауссовский случайный процесс имеет в качестве выборочных функций аналитические сигналы.
В последующих главах нам иногда придется вычислять четвертые моменты и* (0)u*(^)u(^3)u(^) комплексного гауссовского случайного процесса. Такие вычисления могут быть выполнены на основе теоремы о комплексных гауссовских моментах при условии, что u(^i), U(t2), и(^з) и U(^4) подчиняются круговому совместному гауссовскому распределению, т. е. при условиях
1) 1Щй = ^Чй==0, m= 1, 2, 3, 4,
2) u^(tm)u^(tn) = u^{tm)u^(tn), tri, п= It 2, 3, 4, (3.9.1)
3) uM (/„)«<'>(/„)= -u^(tn) U(iHtm); tn, n= 1, 2, 3, 4.
Случайный процесс, удовлетворяющий условиям (3.9.1), называется круговым комплексным случайным процессом. Аналитическое сигнальное представление случайного процесса с нулевым средним действительно отвечает условиям циркулярности, как показывают формулы (3.8.24) и (3.8.28). При выполнении этих условий четвертый момент дается выражением
E [и* (t,) и* (Z2) Ufo) и (f4)] =
= Г и (t3, tf) Гу (U, t2) + Г„ (/з, t2) Tu (t4, ti). (3.9.?
В дальнейшем особый интерес будет представлять случай = tu ti = t2, в котором
E [| и (f,) I21 и (t2) I2] = Гу (tu f,) Tu (t2, t2) +1 Tu (t2, /,) f. (3.9.3) Случайные процессы
111
где мы использовали равенство Гс/(^2,/і) и Гу (ZbZ2)- Напомним читателю еще раз, что эти выражения справедливы только для круговых комплексных гауссовских случайных процессов.
§ 10. Разложение Карунена — Лоэва
В некоторых приложениях, встречающихся в последних главах, нам понадобится разложить выборочные функции u(Z) комплексного случайного процесса U(Z) по системе функций, ортогональных на интервале (—Г/2, Т/2). Ценность такого представления будет больше, если в пределах ансамбля коэффициенты разложения будут представлять собой некоррелированные случайные переменные. Попытаемся найти такое разложение.
Пусть набор функций {<pi(f), <Рг(0, ¦¦., q>n(t), • • •} ортонор-мирован и полон на интервале (—Т/2, Г/2). Такая любая выборочная функция u(Z) с достаточно хорошим поведением может быть разложена з ряд
