Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Можно различать два важных случая. Во-первых, скоростная функция X(t) может быть известной (детерминированной) функцией. Тогда все случайности, связанные с процессом U(t), обусловлены преобразованием заданной функции X(t) в выборочную функцию u(t) пуассоновского процесса. Во-вторых, скоростная функция А, (О сама может быть выборочной функцией некоторого случайного процесса Л(0- Такой процесс U(t) часто называют дважды стохастическим пуассоновским процессом. Случайный характер подобного процесса U(t) частично связан с преобразованием конкретной функции k(t) в выборочную функцию u(t), а частично — со статистическими неопределенностями самой функции A,(f).
Наконец, заметим, что в большинстве практических приложений теории случайный процесс U (t) состоит не из идеальных импульсов единичной площади, а из различных импульсов конечной ширины. Таким образом, каждый импульс вида б(t — tk) заменяется конечным импульсом h(t— tk). В некоторых случаях импульсы могут иметь одинаковые форму и площадь. Такой процесс можно рассматривать как результат прохождения пуассоновского импульсного процесса через линейный инвариантный во времени фильтр с импульсным откликом h(t), как это показано на рис. 3.9, а.
В то же время некоторые явления (например, выходные сигналы фотоумножителя) требуют моделирования процессом, который характеризуется случайным изменением формы и площади от импульса к импульсу. Такой процесс может рассматриваться как результат прохождения пуассоновского импульсного процесса через случайно изменяющийся во времени линейный фильтр с импульсным откликом h(t; т), который является выборочной функцией некоторого случайного процесса, как это показано на рис. 3.9,6. Оба пуассоновских процесса, описанных выше, называются линейно отфильтрованными пуассонов-скими процессами.
Чтобы лучше понять, почему пуассоновский процесс имеет столь важное практическое значение, посвятим два следующих
K(K-I) ... (K-k+l) = (K)k.
(3.7.3) Случайные процессы
91
M
Ui (t)
"і (І)
Лбі)
Инвариантный ао времени фильтр
и M
h(t;r)
'Jj(t)
Изменяющийся во времени фильтр
UaCt)
« мцаму
Mt)
ЛІ
Рнс. 3.9. Линейно отфильтрованные пуассоновскне процессы, а — ннварантный во времени фильтр; б — изменяющийся во времени фильтр.
пункта обсуждению эквивалентных условий, которые приводят к пуассоновскому распределению.
Б. Вывод пуассоновского распределения
из фундаментальных гипотез
К статистической модели, описанной в предыдущем пункте, можно прийти, исходя из ряда различных наборов гипотез [2.3, гл. 16]. Совокупность гипотез, рассматриваемая в этом пункте, является, пожалуй, наиболее фундаментальной и наиболее полно физически осмысленной. Наш вывод будет небольшим обобщением вывода, изложенного в работе [2.7, § 7.2]. В этом и следующем пункте скоростная функция X(t) предполагается известной. Случай стохастической функции X(t) отложен до п. Д.
Начнем со следующих трех основных гипотез.
1. При достаточно малых At вероятность того, что одиночный импульс окажется во временном интервале от t до t At, равна произведению At на действительную неотрицательную функцию
P(l; t, t + At) = X(t)At. (3.7.4)
2. При достаточно малых At вероятность того, что в интервале At окажется более одного импульса, пренебрежимо мала (т. е. отсутствуют «многократные» события):
Р(0; t, t -f AO= 1 -X(t)At. (3.7.5)
3. Числа импульсов в неперекрывающихся временных интервалах статистически независимы. 92
Глава З
Сделав эти предположения, мы можем поставить вопрос: какова вероятность P(К; t, t + т + At) того, что К импульсов окажутся во временном интервале от t до Z + t + At? Если At мало, то можно лишь двумя способами получить К импульсов в интервале (t, Z+ т+ At). А именно, мы можем иметь либо К импульсов в интервале (t, Z + т) и ни одного импульса в интервале (Z + т, t + т + At), либо К— 1 импульсов в интервале (t, Z + т) и один импульс в интервале (^ + т, Z + т + Ат). Учитывая все три указанные выше гипотезы, напишем
P (K', t, < + т + Ат) = Р(К; t, г + т)[1 -М^ + т)Ат] +
+ P(K-U t, t + x)[X(t + x)Ar], (3.7.6)
Перегруппировав слагаемые и поделив на At, получим
P (К; t, f + т + At) — P {К; t, t + х) _ At ~
= X(t + x)[P(K-U t, t + x)-P(K\ t, t + т)].
Далее, полагая At->- 0, находим, что величина P(K;t,t-\-x) должна удовлетворять дифференциальному уравнению
dP(K;U + x) ==%{t + x)[p{K_l. и t + x)_p{K. {> t + x)]
(3.7.7)
Решая это линейное дифференциальное уравнение с граничным условием Р(0; t,t)=\, приходим к единственному решению
П' 1X
МИ ( tP )
гід; г, i-hv=-п—— expj-$ X(E) dl L (3.7.8)
которое совпадает с (3.7.1).
В последующем, встречаясь с пуассоновскими процессами, мы будем принимать указанные три фундаментальные гипотезы, когда нам это покажется необходимым.
В. Вывод пуассоновского распределения
из распределения времен случайных событий
Другая модель, которая приводит к пуассоновскому процессу того же типа, основывается на некоторых предположениях относительно статистического распределения времен событий tk.
