Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
It= о
где
u(o = Xmuo. (зло.п
л=0
Г<рт(о<р;(оdt = при nZm' (3.10.2)
J TmWTnW ( 0 пои пфт.
-T/2
а коэффициенты разложения Ь„ определяются выражением
Т/2
ЬЯ= \ u(t)%(t)dt, п = 0,1,2,.... (3.10.3)
-T/2
Спрашивается: можно ли для случайного процесса с заданной автокорреляционной функцией Tu(t2, 0) выбрать конкретный набор таких ортонормированных функций, что коэффициенты разложения {Ь„} окажутся некоррелированными?
Для простоты предположим, что случайный процесс U(Z) имеет нулевое среднее значение для всех моментов времени, хотя в других отношениях он, может быть, нестационарен. Среднее значение каждого коэффициента разложения равно нулю, поскольку
Т/2
Е[Ьп]= \ E[и(Z)]ф;(Odt = O. (3.10.4)
-T/2 112
Глава З
Таким образом, чтобы коэффициенты разложения были некор-релированы, потребуем выполнения условия
?[Ь„Ь;і = {пт ПРИ mZn' (3-10.5)
I п т\ Iq При тфп. v '
Чтобы выполнялось это . условие отсутствия корреляции (3.10.5), должна быть выбрана должным образом ортонормиро-ванная совокупность функций {<рт(0}- Для установления условий, накладываемых на функции {<рт(0}> подставим выражение (3.10.3) непосредственно в (3.10.5), что даст нам
Г/2 Г/2
?[ь„ь;] = J J *[«'('.)«(УК(Учрm('W2=
-Г/2 -Г/2 Г/2 Г Г/2 -I
= SS TuVr VVmWtlWMdt * (ЗЛ0-6)
-Г/2 L -Г/2 J
Предположим теперь, что набор функций {фт(0} выбран так, чтобы удовлетворялось интегральное уравнение
Г/2
S Tu (*2, ti) Ф-п (*,) dt, = xm(fm(t2). (3.10.7)
-Т/2
Тогда корреляция коэффициентов разложения будет иметь требуемый вид
Г/2
при Тф\ <ЗЛ0-8)
Требование, налагаемое на набор функций {q>m(0} интегральным уравнением (3.10.7), может быть сформулировано математически следующим образом: требуемый набор функций {фт (0} должен быть совокупностью собственных функций интегрального уравнения, имеющего в качестве ядра функцию Tu(t2,t\), а совокупность коэффициентов {Хт} должна быть соответствующим набором собственных значений.
Выше в наших рассуждениях были опущены многие математические тонкости. Порядок операции вычисления среднего значения и операции интегрирования свободно менялся без проверки выполнения требований к функциям, обеспечивающих допустимость этого. Нам здесь достаточно было просто установить, что автокорреляционная функция Tuit2, M должна быть непрерывной функцией своих аргументов. За более полными математическими обоснованиями отсылаем читателя к работе [3.3]. Случайные процессы
113
Задачи
3.1. Пусть случайный процесс U(t) задается функцией
U (t) = A cos (2nvt — Ф),
где V — известная постоянная, Ф — фаза, однородно распределенная на интервале (—л, л), и плотность распределения амплитуды А дается выражением
где А и Ф статистически независимы.
а) Вычислите величину <w2(0> для выборочной функции с амплитудой, равной 1, и выборочной функции с амплитудой, равной 2.
б) Вычислите U2.
в) Покажите, что
^2= I(W2)1+ I(W2)2,
где <и2>і и <и2>2 — результаты п. «а» для амплитуд, равных 1 и 2.
3.2. Рассматривается случайный процесс U(t) = A, где А — случайная переменная, однородно распределенная на интервале (-1.1).
а) Нарисуйте график некоторых выборочных функций этого процесса.
б) Найдите временную автокорреляционную функцию процесса U(t).
в) Найдите статистическую автокорреляционную функцию процесса U(t).
г) Является ли процесс U(t) стационарным в широком смысле? Является ли он строго стационарным?
д) Является ли процесс U(t) эргодическим случайным процессом? Поясните.
3.3. Эргодический случайный процесс с автокорреляционной функцией Ги(т) = (No/2) б(т) поступает на вход линейного инвариантного во времени фильтра с импульсным откликом h(t). Выходной сигнал V(t) умножается на запаздывающий вариант сигнала U(t), образуя новый случайный процесс Z(0, как это показано на рис. З.Зз. Покажите, что импульсный отклик фильтра может быть найден путем измерения зависимости <г(0> от задержки А. 114
Глава З
3.4. Рассмотрим случайный процесс
Z(t) = U cos it:t,
где U
тЬ"ехр(-т)-
случайная переменная с плотностью распределения
2 -
а) Какова плотность распределения случайной переменной Z(O)?
U(t) h(t) т)»(
1) Zd) ->( X )—1—
Изменяемая задержка А
Рнс. З.Зз.
б) Какова совместная плотность распределения переменных Z(O) и Z(I)?
в) Является ли заданный случайный процесс строго стационарным, стационарным в широком смысле или эргодическим?
3.5. Найдите статистическую автокорреляционную функцию случайного процесса
U (t) = Oi cos (2irvif — Ф,) + а2 cos (2nv2t — Ф2).
где ai, а2, vi, V2 — известные постоянные, а Фі и Ф2 — независимые случайные переменные, однородно распределенные на отрезке (—л, я). Какова спектральная плотность мощности процесса U(t)7
3.6. Некоторый случайный процесс U(t) принимает равновероятные значения +1 или 0 в моменты времени, наступающие случайным образом. Вероятность того, что п изменений значений происходит за время т, известна и равна
^М-нЫттЫ" « = 0,1,2,...,
где п = ах — среднее число изменений. Найдите автокорреляционную функцию этого случайного процесса и нарисуйте ее примерный график. Указание:
