Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 33

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 60 >> Следующая


В. Комплексные огибающие или зависящие от времени фазоры

Рассмотрим действительнозначный сигнал и(г> (t), который будучи немонохроматическим, характеризуется все же «узкополосным» спектром мощности. Если Av — номинальная ширина спектра в окрестности его центральной частоты vo (рис. 3.13), то данное требование выражается неравенством Av vo. 106

Глава З

Такой сигнал может быть записан в форме

w(r> (/) = a (f) cos [2jtv0* — <р (0], (3.8.15)

где A (t)— медленно меняющаяся огибающая, а ф(0~ медленно меняющаяся фаза. В хорошем приближении удвоение положительно-частотных компонент и отбрасывание отрицательно-частотных компонент приводит к аналитическому сигналу только C одной экспоненциальной компонентой (3.8.15)

и (I) = A (О є'* (<>е-'2лЧ (3.8.16)

По аналогии с монохроматическим случаем определим зависящую от времени фазорную амплитуду, или комплексную огибающую, и(0 как

А (О А Л(0е/ч>(''. (3.8.17)

Для любого (широкополосного и узкополосного) сигнала мы можем записать аналитическое сигнальное представление в виде

и (/) = A (/) е-'2""'. (3.8.18)

Если сигнал узкополосный, то комплексная огибающая A(Z) изменяется значительно медленнее комплексного множителя ехр(—/2.-tvoO 11 IА(01 приблизительно совпадает с огибающей A(t) в формуле (3.8.15).

Г. Аналитический сигнал как комплексный случайный процесс

Если действительный сигнал «<r>(Z) является выборочной функцией случайного процесса U(t), то аналитический сигнал можно рассматривать как выборочную функцию комплексного случайного процесса U(Z). В данном пункте мы рассмотрим некоторые основные свойства такого случайного процесса.

Читателя может смутить то обстоятельство, что мы определили аналитический сигнал через фурье-образ действительнозначного сигнала, а для случайного процесса такой спектр не существует. Но мы можем определить аналитический сигнал иначе, а именно в виде

и (О А [б (0- If ] * "(г) (0. (3.8.19)

в полном согласии с определением (3.8.8), но без введения фурье-образа. Тогда аналитический сигнал, представляющий выборочную функцию случайного процесса, будет действительно хорошо определенным.

Для полного описания случайного процесса U (Z) нужно задать совместное распределение для действительной и мнимой частей процесса для всех возможных наборов моментов вре- Случайные процессы

107

мени. Однако задать распределение процесса U(0 даже в отдельный момент времени, вообще говоря, затруднительно, так как совместное распределение действительной и мнимой частей должно отыскиваться на основе известного распределения только действительной части и соотношения, выражающего преобразование Гильберта:

с>

»<''>(0 = 4- f X=T^- (3.8.20)

— OO

Такая задача может быть решена без большого труда только в случае гауссовского процесса, который рассматривается в следующем параграфе.

Но независимо от вида соответствующих плотностей распределения, как правило, представляют интерес автокорреляционные функции и взаимные корреляционные функции действительной и мнимой частей процесса Чтобы найти эти функции, прибегнем к интерпретации преобразования Гильберта как линейной фильтрации, описываемой формулой (3.8.14). Пусть функция Г^'г)(т) представляет собой автокорреляционную функцию действительного процесса U(t), который предполагается стационарным хотя бы в широком смысле, но в остальном произвольным. Соответствующая спектральная плотность мощности действительного процесса имеет вид

+ 00

3?- r> (v)= 5 Гу г) (т) е'2Лч/х d%' (3.8.21)

— 00

Спектральная плотность мощности мнимой части процесса представляется величиной На основании формул

(3.3.12) и (3.8.14) находим

Sft0(V) = I-/SgnvI2Sfr r>(v).

Кроме того, если случайный процесс UV"> (t) имеет нулевое среднее (т. е. его спектральная плотность мощности не имеет компоненты типа б-функции при v = 0), то можно написать

Следовательно, и, таким образом,

I —/Sgnvl2= 1.

" (v) = %'ії °(v) if >(t) = lf (т),

(3.8.22)

(3.8.23)

(3.8.24) 108 Глава З

Что касается взаимных корреляционных функций

Tfr V)= V+ ^V),

__(3.8.25)

Tfr V) = "(V + t) Uin (()

то мы воспользуемся формулами (3.5.8) и (3.8.14), считая, что один фильтр имеет единичную передаточную функцию, а другой— передаточную функцию— /sgn v. В результате получим

(> (v) А {Г(и (т)} =

= 1-(+/ sgn V) »fr п (v) = І sgn v^frr) (v) (3.8.26) н аналогично ^tf r) (v) = {Гу г> (т)} =

= (- І sgn v) • 1 • &ru r) (v) = - і sgn V • »fr r) (v). (3.8.27)

На основании этих результатов мы заключаем прежде всего, что

TfrV) =-TfrV), (3.8.28)

и, кроме того, в силу формулы (3.8.27) имеем

і +Г Tir- г>

rfr V) = i f jbr^l. (3.8.29)

— со

Для удобства в последующих приложениях определим автокорреляционную функцию комплексного случайного процесса

как _

Ty (t2, M = U(Z2)U-(Z1)- (3.8.30)

Если действительная и мнимая части процесса U(Z) стационарны хотя бы в широком смысле, то величина Ги(т), определенная таким способом, обладает следующими основными свойствами:

1) Гу (0) = [ио (Z)]2 + [««> (Z)]2.
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed