Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
S0iy)= Iim Е[ I Ut(V) I2,
Г-> OO
Dttr(V)I2I (3.7.31)
%(V) =Iim EllrrWUi
Г-+00 1
где Ur (v) — функция (3.7.20). Вычисление средних значений, входящих сюда сумм способом, идентичным тому, который уже использовался в случае детерминированных скоростных функций, приводит к выражениям
S0 (V) = Iim (кт + E [ I Xt (v) I2]},
Наконец, принимая параметр T произвольно большим, получаем
Su (v) = ~~К SА (v),
_ (3.7.32)
Su(V)=X + <$А (v),
где ХД(? [X(Z)]). Таким образом, мы видим, что в случае стохастической скоростной функции обе спектральные плотности содержат постоянное слагаемое и соответствующую спектральную плотность стохастического скоростного процесса.
Е. Линейно отфильтрованные пуассоновские процессы
В заключение рассмотрим случай линейно отфильтрованного пуассоновского процесса и, в частности, спектральную плотность энергии илн мощности такого процесса. Сначала предположим, 100 Глава З
что процесс состоит из импульсов одинаковой формы и площади, так что любая обрезанная выборочная функция имеет форму
к
ыг (0 = rect -jr- Yj h{i-tk). (3.7.33)
fe=i
Как показано на рис. 3.9, а, такой процесс может рассматриваться как возникающий в результате прохождения пуассоновского импульсного процесса через линейный, инвариантный во времени фильтр. Если Ж (v) представляет собой передаточную функцию рассматриваемого фильтра, т. е.
Х{у)= J h (/) e'2Jtv( dt, (3.7.34)
— со
то формулы (3.3.10) и (3.3.12) позволяют нам представить спектральную плотность линейно отфильтрованного пуассоновского процесса в виде произведения величины I^(V)I2 на спектральную плотность исходного пуассоновского импульсного процесса. В результате имеем для спектральной плотности энергии и спектральной плотности мощности выражения
$ и (V) =J IЖ (v) I2 +1Ж (v) I2 Sk (v), (3.7.35)
Su (v) = XIЖ (v) I2 +1Ж (v) I2 Sa (v). (3.7.36)
Если импульсы, составляющие процесс U(t)f имеют случайные форму и площадь, то необходимо ввести некоторые изменения. Так, при вычислении спектральной плотности энергии будем иметь
к
U it) =Z h(t\ th), (3.7.37)
k=\
К к
I ад I2= S E *(v; gexp[/2nv(fc-g], (3.7.38)
fe=l ?=1
где Ж{\, tk) — фурье-образ формы k-ro импульса:
4- со
Xivitk)= J A(f; ^e72nv <'"'*> d(/-ffc). (3.7.39)
— OO
Среднее выражения (3.7.38) теперь следует вычислять по распределению значений ti, t2, ¦ ¦ ¦, ік, К и распределению величины tk).
Снова рассмотрим отдельно К слагаемых, для которых k = q, и K2 — К слагаемых, для которых кфц. Для первой части наш предыдущий вклад К, в энергетический спектр дол- Случайные процессы
101
жен быть умножен на величину | Ж(у\ tk) |2> которую мы предполагаем одинаковой для всех tk и, следовательно, представимой
в виде \Х{у) I2. Для K2 — К слагаемых с k Ф q мы должны произвести умножение на Ж(\; Zfc) Ж" (v; tq). Если различные импульсы статистически независимы, то этот множитель сводится к
[M(\)f. Таким образом, для спектральных плотностей энергии и мощности получаем
#о (V) = KI щуг? + ^a(v), (3.7.40)
Sa(v) = X\ ЖШ+ШШ^Ф)- (3.7.41)
Заметим, что при выводе последних результатов неявно предполагалась независимость распределений величии Ж(\\іь) и Л (t).
§ 8. Случайные процессы на основе аналитических сигналов
В физике и технике действительные сигналы часто представляют в виде комплексных величин. Комплексное представление выбирается таким образом, чтобы действительная часть комплексной величины совпадала с представляемым ею действительнозначным сигналом. Тогда, если над комплексным сигналом выполняются только линейные операции, истинный сигнал на каждом этапе можно найти просто как действительную часть комплексного сигнала.
Преимущества комплексного представления сигнала перед действительнозначным связаны с одним фундаментальным свойством линейных инвариантных во времени систем: собственные функции таких систем являются комплексными экспоненциальными функциями вида ехр(—j2nvt). Таким образом, если линейную инвариантную во времени систему представить оператором 3?{ }, то можно написать
S {ехр (- /2jtvZ)} = Ж (v) ехр (- finvQ,
где Ж (v) — передаточная функция системы, вычисленная при значении частоты v (доказательство этого см. в работе [2.9]). Процесс прохождения действительнозначного сигнала через такую систему описывается действием операторов на комплексные экспоненты с положительными и отрицательными частотами, что связано с громоздкими алгебраическими преобразованиями.
Учитывая сказанное, вернемся к более детальному математическому исследованию комплексного представления сигнала. 102
Глава З
А. Представление монохроматического сигнала в комплексной форме
Рассмотрим монохроматический (т. е. одночастотный) действительнозначный сигнал uU)(t) вида
uc> (t) = A cos (2jiv0/ — ф), (3.8.1)
где A, V0 и ф — постоянные амплитуда, частота и фаза. Комплексное представление этого сигнала таково:
u(0 = Aexp(-/(2nv0t-q>)}; (3.8.2)
действительная часть этой функции равна истинному сигналу u<r)(t). Этому комплексному представлению отвечает фазорная амплитуда функции u(f), определяемая выражением
