Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
CXJ
вия ^ evdv = e, и, таким образом, имеем
и
: є
У.
h ( Iiv \ 7,7-IO"38 V2 ґ Iiv \ эрг /,von
— ехр - — = —---Yf— ехр -------—г—Г-- ¦ (17.24)
Л V у.IJ 4 л у/ V уЛ J CMj-C-Fu
Остановимся теперь на другом предельном случае малых энергий (низких температур), когда
(17-25)
При условии (17.25) расчет можно проводить классически. В самом деле, длина волны электрона X = h/mv = 2nti/mv, а наименьшее расстояние, на которое электрон подходит к ядру, определяется из условия Z<?2/rmin = у 2mv2 и равно гт,п = = 2Ze2Imv2. Очевидно, при соблюдении неравенства (17.25) Ггпіп А./я, и движение электрона можно описывать классически. Излучение также описывается классически, но при интегрировании по частотам нужно внести квантовый элемент — интегрировать лишь до частоты v = mv2/2h, где v — скорость электрона до излучения*). Классический расчет излучения при движении частицы в кулоновском ноле детально проведен в § 70 книги [2]. Нас при этом интересует величина
d\V = J W (р) 2яр dp,
где Й?(р) — энергия, излучаемая в интервале со, со -f dco при пролете частицы с зарядом е на расстоянии р от ядра с зарядом eZ (масса частицы, которую будем считать электроном, равна т, отдачей ядра пренебрегаем). Если
mv^ ( e2Z ^ mv2\ 0„ч
ш»-^ (т. е. _»_), (17.26)
то
dW= ^-°2* den= 32^vz2 dv. (17.27) З Уз o2ot2c3 3 Уз v2in2c3
Ту же формулу можно, конечно, получить квантовомеханически, но классический расчет в данном случае вполне достаточен
*) Точнее, классическое рассмотрение пригодно при условии hv = fiw -С •С lI2Inv2-, приближенно в ряде случаев можно использовать классические формулы и при hv ^ iIimv2.
447 (условие (17.25) есть как раз условие применимости квазиклассического приближения для кулоновского поля). Полная энергия, излучаемая при ударе, равна
W = [ dW = 16^e6z2 . (17.28)
J 3 УЗ mc3h
Неточность исходного выражения (17.27), вызванная условием (17.26), при интегрировании по частотам несущественна. Более важно ограничение, связанное с использованием выражения (17.27) вплоть до частоты a = mv2/2h (см. ниже). Для максвелловского распределения скоростей в водородной плазме
Vsftv/ т
4жу= J ^^(^yVexp^-fJ)^ =
о
_ 32я V2jT N2 ехр (— hxjy.Т) __ ^ h ехр (— hx/хТ) _
~ ЗУЗ m'l- (у,Т)1'2 - у.Т ~
= 6,8 - IO"38 " ехр C- JL-. (17.29)
у I V у,Т J см-' • с • Гц
При получении этой формулы учтено, что фотон с энергией Hv может быть испущен лишь электроном с энергией 1 /2fflt)2 hv. Интегральная излучательная способность є равна
. Г , , Cip7ja, 16 V^Te1W2 (хТ/т)
4яе = \ 4mv dv = \W dN =---=—-——— =
J J Зл/З тсЧі
= 1,42 • IO-27N2 л/Т ^7. (17.30)
Значение (17.30) отличается от (17.20) лишь множителем 1,57/1,42 = 1,1, который в применении к астрофизическим задачам обычно может считаться равным единице. Таким образом, хотя в области температур (см. (17.25) с Z = 1)
IO5K (17.31)
Зи ^ Tx2K
нужно использовать формулы (17.29), (17.30), но фактически всегда можно употреблять формулы (17.20), (17.21) и (17.24). Точнее, использование (17.20), (17.21) и (17.24) при всех температурах допустимо, если речь идет о погрешностях порядка десятков процентов (кроме того, (17.24) неточно при hv/xT <С 1)-В высокотемпературной области (17.22), (17.23) формула (17.21), видимо, очень точна. Формула (17.24) даже при высоких температурах достаточно точна лишь при hv/xT 1 (в области hv/xT -С 1 нужно умножить ev на - In t ; см.
448 ниже). Формулы (17.28) — (17.30) являются приближенными в связи с использованием классических выражений вплоть до частоты V = mv2/2h. Точные формулы отличаются от (17.29) и (17.30) наличием дополнительного множителя g(v, Т), который обычно называют фактором Гаунта. Соответствующие выражения и графики g(v, Т) приведены в [241]. Фактор g ~ 1 и именно поэтому, как мы и отмечали, при расчетах с погрешностью до десятков процентов формулы (17.20), (17.21) и (17.24) о>бычно можно использовать при всех температурах. Это заключение, как и большинство ему подобных, нужно воспринимать с осторожностью, поскольку точность зависит, естественно, от рассматриваемого интервала энергий рентгеновских лучей. Например, для плазмы с кТ = 6 кэВ в интервале энергий фотонов 2—20 кэВ фактор Гаунта изменяется от 1,35 до 0,55, т. е. уже примерно в 2,5 раза. Такое изменение, особенно в условиях все повышающейся в области рентгеновской астрономии точности измерений, достаточно существенно и не должно игнорироваться [241в]. Нужно также иметь в виду, что при низкой температуре происходит рекомбинация, и плазму обычно нельзя считать полностью ионизированной.
Максимальная мощность рекомбинационного излучения 4яєрек, max a; 10 21ZV2/V^ и, следовательно,
Єпек 8-Ю5
(17.32)
fctopm 1
Таким образом, при T^ IO6 К нужно учитывать рекомбинационное излучение (свободно-связанные и связанно-связанные переходы; см. [240а]). При T IO6 К водородная плазма излучает практически лишь тормозное излучение (см. (17.21) и (17.24)). В силу наличия рекомбинационного излучения неточность формул (17.21) и (17.24) в области T IO5 К обычно тем более несущественна.
