Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Подобно тому как в геометрии бесконечное множество прямых, именно параллельные друг другу прямые, нсполь-
О БЕСКОНЕЧНОМ
345
зуется для определения идеальной прямой, так и в высшей арифметике определённые бесконечные системы чисел объединяются в один числовой идеал, и в этом состоит, пожалуй, самое гениальное применение принципа идеальных элементов. Если это происходит вообще, внутри некоторого алгебраического числового поля, то мы находим в этом поле простые и хорошо известные законы делимости, аналогичные тем, которые имеют место для обыкновенных целых чисел. Здесь мы уже попали в область высшей арифметики.
Мы подошли теперь к анализу, этой искуснейшей и тончайшим образом разветвлённой отрасли математических наук. Вы сами знаете, какую ведущую роль играет там бесконечное; математический анализ можно в известном смысле назвать единой симфонией бесконечного.
Громадные успехи, достигнутые в исчислении бесконечно малых, основываются большей частью на действиях с математическими системами, состоящими из бесконечного числа элементов. Так как очень легко напрашивалось отождествление бесконечного с «очень большим», то вскоре возникли несогласованности, так называемые парадоксы исчисления бесконечно малых, часть которых была уже в древности известна софистам. Основным шагом вперёд .явилось обнаружение того факта, что многие положения, справедливые для конечного, — часть меньше целого, существование минимума и максимума, перемена мест слагаемых или сомножителей —не могут быть непосредственно перенесены на бесконечное. В начале сво.его доклада я уже упоминал, что эти вопросы были выяснены благодаря проницательности Вейерштрасса, и теперь анализ в своей области стал безошибочным наставлением и практическим инструментом для пользования бесконечным.
Однако сам анализ ещё не ведёт нас к глубочайшему проникновению в сущность бесконечного. Такому проникновению гораздо больше способствует дисциплина, которая стоит ближе к общефилософским приёмам мышления и которая была призвана опять, уже в новом свете, поставить весь комплекс вопросов, касающихся бесконечного. Этой дисциплиной является теория множеств, создателем кото-
346
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
рой был Георг Кантор. Здесь мы рассмотрим только то, поистнне единственное в своём роде и оригинальное, что составляет собственно ядро канторовского учения,— его теорию трансфинитных чисел; она представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека. Что же это такое?
Если хотят кратко характеризовать новое понимание бесконечного, которому положил начало Кантор, можно, пожалуй, сказать следующее: в анализе мы имеем дело с бесконечно малым и бесконечно большим только как с предельным понятием, как с чем-то становящимся, образующимся, производящимся, т. е., как говорят, с потенциальной бесконечностью. Но это не есть само собственно бесконечное. Таковое мы имеем, например, рассматривая самую совокупность чисел 1, 2, 3, 4, . . . как некое законченное. единство или точки отрезка как совокупность вещей, предстоящую перед нами в законченном виде. Этого рода бесконечность мы будем называть актуальной бесконечностью.
Уже Фреге и Дедекинд, сделавшие очень многое для обоснования математики, оба, независимо друг от друга, применили актуальную бесконечность для того, чтобы обосновать арифметику независимо от всякого наглядного представления и опыта, на чистой логике и развивать её дедуктивным путём только посредством логики. Их стремление состояло в том, чтобы конечное число не брать из наглядного представления, а вывести чисто логически, существенно используя при этом понятие бесконечных множеств. Кантор же разработал понятие бесконечного систематически. Рассмотрим оба упомянутых примера бесконечного:
1. 1, 2, 3, 4, . . .
2. Точки отрезка [0, 1] или, что то же, совокупность действительных чисел, заключённую между 0 и 1 [включая их].
Во-первых, их надо исследовать с точки зрения многочисленности; при этом мы приходим к поразительным фактам,
О БЕСКОНЕЧНОМ
347
которые теперь хорошо известны каждому математику. Именно, если рассматривать множество всех рациональных
-112 1 3
чисел, т. е. все дроби —¦, j, у, j , . . . , у, . . . ,
то оказывается, что это множество, взятое только с точки зрения многочисленности, не больше множества целых чисел; мы говорим, что рациональные числа могут быть обычным способом пересчитаны, или что их множество счётно.
То же справедливо и относительно множества всех чисел, выражающихся с помощью радикалов и, даже более того, — для множества всех алгебраических чисел. Аналогично обстоит дело и с нашим вторым примером: неожиданным образом оказывается, что множество точек квадрата или куба, взятое только с точки зрения многочисленности, не больше множества точек отрезка [0, 1]; даже для множества всех непрерывных функций справедливо ещё такое же утверждение. Кто узнаёт это впервые, может подумать, что с точки зрения многочисленности существует вообще одна только бесконечность. Но это неверно: множества наших двух примеров, — 1-го и 2-го — как говорят, не «равномощны»; напротив того, множество
