Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вспомним, что мы — математики и в качестве таковых уже не раз находились в аналогичном затруднительном положении и что тогда нас выводил из этого положения гениальный метод идеальных элементов. Некоторые яркие примеры применения этого метода- я приводил уже вам в начале доклада. Так же, как было введено i—У — 1 для того, чтобы удержать законы алгебры в простейшем виде, например, теорему о существовании и числе корней уравнения; так же, как произошло введение идеальных
23*
356
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
факторов, опять-таки для того, чтобы оставить в силе простейшие законы делимости для целых алгебраических чисел, когда мы, например, вводим общий идеальный делитель чисел
2 и 1 -{-"5,
хотя в действительности таковой не существует; точно так же и здесь к конечным высказываниям мы должны присоединить идеальные высказывания для того, чтобы удержать формально простые законы обычной аристотелевой логики. И странным образом случилось так, что определения и выводы, против которых Кронекер с такой страстью возражал, оказались точной копией того, что тот же Кронекер с таким энтузиазмом превозносил в теории чисел у Куммера и чем он восхищался как высшим математическим достижением.
Как же мы теперь придём к идеальному высказыванию? Замечательно н, во всяком случае, благоприятно и покровительствует нам следующее обстоятельство. Для того, чтобы попасть на путь к этим идеальным высказываниям, мы должны лишь естественным и последовательным образом продолжить то развитие основ математики, которое имело место уже до сих пор. Действительно, припомним, что дажеэлементарная математика уже не остаётся на точке зрения наглядной теории чисел. Содержательно наглядная теория чисел, как мы её до сих пор понимали, не включает в себя метод алгебраического буквенного исчисления. В ней формулы всегда употребляются только для сообщения; буквы означают числовые знаки, и с помощью равенства мы сообщаем о совпадении двух знаков. Напротив того, в алгебре мы пользуемся буквенными выражениями как образами, которые сами по себе самостоятельны, и благодаря им содержательные теоремы теории чисел принимают формальный характер. На место высказываний о числовых знаках выступают формулы, которые, со своей стороны, являются конкретными объектами наглядного созерцания, а на место содержательного теоретико-числового доказательства выступает вывод одной формулы из другой по известным правилам.
О БЕСКОНЕЧНОМ
357
Таким образом, уже в алгебре имеет место увеличение числа конечных объектов. До сих пор это были только числовые знаки, как, например, 1, 11, 11111. Только они служили объектами содержательного рассмотренйя'. Но уже в алгебре математическая практика выходит за эти пределы. Даже когда некоторое высказывание с нашей конечной точки зрения ещё допустимо в связи со ссылками на содержательное, как, например, теорема о том, что
a-fb = b-f a,
где а и Ь означают некоторые числовые знаки,— даже тогда мы пользуемся не этой формой сообщения, а формулой
й Ъ = b ~[~ д,
которая теперь уже отнюдь не является непосредственным сообщением о чём-то содержательном, а некоторым формальным образом, отношение которого к старым конечным высказываниям
2-f 3=3 + 2,
5-i-7 = 7-f5
СОСТОИТ В ТОМ, что мы в эту формулу вместо ау Ь гтод-стаиляем числовые знаки 2, 3, 5, 7 и благодаря этому, т. е. благодаря некоторому — хотя и очень простому — способу доказательства, получаем конечные частные высказывания. Итак, мы приходим к тому взгляду, что «,
Ь, = , 4", равно как и вся-формула целиком,
а -[- Ь b -j- а,,
никакого значения сами по себе не имеют, точно так же, как и числовые знаки; однако из неё можно получить формулы, которым мы приписываем значение, именно тем, что мы их понимаем как сообщение конечных высказываний. Если мы этот взгляд обобщим, то математика сведётся к совокупности формул, во-первых, таких, которым соответствуют содержательные сообщения конечных высказываний, т. е. по существу числовых равенств или неравенств, и во-вторых, других формул, которые сами по
338
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
себе никакого значения не имеют и которые являются идеальными образами нашей теории.
Какова же была наша цель? В математике мы нашли, с одной' стороны, такие конечные высказывания, которые содержат только числовые знаки, как-то:
3> 2, 2-(-3 = 3-(-2, 2=3, 1Ф1;
эти высказывания, если исходить из нашей конечной точки зрения, оказываются непосредственно наглядными и без дальнейшего понятными; их можно отрицать, они верны или ложны, можно свободно, не задумываясь, распоряжаться ими согласно логике Аристотеля; закон противоречия для них имеет место, т. е. какое-либо высказывание этого рода и его отрицание не могут оба быть верны; имеет место закон исключённого третьего, т. е. одно из двух — либо данное высказывание верно, либо верио его отрицание. Когда я говорю: «некоторое высказывание ложно», то это равносильно утверждению: «отрицание этого высказывания верно». Кроме этих элементарных высказываний совершенно непроблематического характера, мы встречали также конечные высказывания проблематического характера, например, такие, которые были неразделимы. Наконец, мы ввели идеальные высказывания, которые должны способствовать тому, чтобы в совокупности опять-такн имели место обычные законы логики. Но так как идеальные высказывания, именно формулы, сами по себе не имеют значения, поскольку они не выражают конечных утверждений, то логические операции над ними не могут производиться содержательно, как над конечными высказываниями. В таком случае сами логические операции и математические доказательства необходимо формализовать; это требует перевода логических соотношений на язык формул. Поэтому мы должны будем к математическим знакам прибавить ещё и логические знаки, например
