Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
2-го примера не может быть пересчитано, —- оно больше множества 1-го примера. Здесь наступает характерная перемена в образовании идей Кантора. Точки отрезка нельзя пересчитать обычным способом с помощью чисел 1, 2, 3, . . . Но, допуская существование актуальной бесконечности, мы отнюдь не ограничиваем себя этим обычным способом счёта, и ничто нас не принуждает прекратить счёт. Когда мы пересчитали 1, 2, 3, . . . , то мы можем пересчитанные предметы рассматривать как некое в этом определённом порядке законченное бесконечное множество. Обозначим, как это делает Кантор, этот порядок по его типу через to; тогда счёт естественно продолжается с помощью м-}-1, e>-j-2, . .. ДО (0-|-(0
или (0-2, а затем он продолжается дальше с помощью to - 2 —f- 1, to • 2-j- 2, to • 2 —3, . , . , и • 2-f(0 = (0 • 3 и далее с помощью to• 2, to-3, (0-4, ..., (0-(0 = ю2, (02-|- 1, ...
348
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
Таким образом, мы получаем следующую таблицу:
1 • 2 • 3...
И) о) —}~ 1, (0 + 2, ... м-2, со-2 1, со - 2 —(- 2, ...
со-3, со - 3 —1, со • 3 -)- 2, ...
О)2, О)2 —(- 1, ...
со2 -(- со, со2-|-со2-2, со2 —со - 3, ...
со2 • 2, ... со2-2-(-со, ...
со8, . . .
со4, ...
сош, ...
Это — первые трансфинитные числа, числа второго класса, как их называет Кантор. К ним мы подходим просто посредством продолжения счёта за пределы обыкновенной
счётной бесконечности, т. е. с помощью вполне естествен-
ного, однозначно определённого последовательного продолжения обычного счёта в конечном. Подобно тому как мы до сих пор считали лишь 1-ю, 2-ю, 3-ю, . . . вещь множества, так теперь мы считаем со-ю, (со 1 )-ю, сош-ю вещь.
При таком положении вещей тотчас же сам собою напрашивается вопрос—нельзя ли при помощи этих трансфинитных чисел пересчитать множества, которые в обычном смысле несчётны?
Кантор в соответствии с этим ходом мыслей успешно построил теорию трансфинитных чисел и создал для них полное исчисление. Итак, в конце концов, благодаря гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора, бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своём дерзком полёте достигло головокружительной высоты успеха.
Но реакция не заставила себя ждать; она разыгралась очень драматически. Произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали
О БЕСКОНЕЧНОМ
349
явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений; поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаключений,, постепенно ставших обычными, выявились противоречия, сначала единичные, а затем всё более резкие и всё более серьёзные; так называемые парадоксы теории множеств. В особенности это- относится к прртиворечию, найденному Цермело и Ресселлем, опубликование которого, оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое действие. Перед лицом этих парадоксов Дедекинд и Фреге фактически отказались от своей точки зрения и очистили поле битвы: Дедекинд долго сомневался перед тем, как .выпустить новое издание своей работы «Что такое числа, и чем они должны быть» («Was sind und was sollen die Zahlen»), которая в своё время открыла новую эпоху; у Фреге также была тенденция считать свою книгу «Основные законы арифметики» («Grundgesetze der Arithmetik») ошибочной, в чём он признаётся в одном из своих послесловий. И на учение Кантора с различных сторон были произведены бурные иападкн. Контрдвижение было столь стремительно, что общеупотребительнейшие и плодотворнейшие понятия математики, простейшие и важнейшие её умозаключения оказались под угрозой, и применение их должно было быть запрещено. Правда, не было недостатка и в защитниках старого; но мероприятия защиты были очень слабы, и они не были направлены единым фронтом в. нужную сторону. Лекарств против парадоксов рекомендовали слишком много, методы объяснений были слишком разнообразны.
Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности, — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподаёт и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечку?
Но существует вполне удовлетворительный путь, по которому можно избежать парадоксов, не изменяя при этом нашей науке. Те точки зрения, которые служат для от-
350
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
крытия этого пути и те пожелания, которые указывают нам направление, суть следующие:
1. Мы будем заботливо следить за плодотворными способами образования понятий н методами умозаключений везде, где является хотя бы малейшая надежда, будем ухаживать за ними, поддерживать их, делать их годными к использованию. Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор.
