Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. Надо повсюду установить ту же надёжность заключений, которая имеется в обыкновенной, низшей теории чисел, в которой никто не сомневается и где возникают противоречия и парадоксы только вследствие нашей невнимательности.
Достижение этой цели возможно, очевидно, лишь после того, как мы полностью выясним сущность бесконечности.
Раньше мы уже выяснили, что какие бы опыты и наблюдения и какую бы отрасль науки мы ни рассматривали, нигде в действительности мы не иаходим бесконечности. Должны ли мысли о вещах быть столь непохожими на то, что происходит с вещами, должны ли они сами по себе итти другим путём, совершенно в стороне от действительности? Разве не ясно, что когда мы, как нам кажется, в каком-то смысле познаём реальность бесконечного, на самом деле мы лишь позволяем себе соблазниться чудовищно большими и чудовищно малыми размерами, которые так часто встречаются в действительности. А содержательные логические выводы, когда мы их применяли к действительным вещам или событиям, — разве они нас где-лнбо обманывали и где-либо нам изменяли? Нет — содержательное логическое мышление необходимо. Оно нас обманывало только тогда, когда мы принимали произвольные абстрактные способы образования понятий; мы в этом случае как раз недозволенно применяли содержательные выводы, т. е. мы, очевидно, не обратили внимания на предпосылки, необходимые для применения содержательного вывода. В признании того, что такие предпосылки имеются и должны приниматься во внимание, мы согласны с философами, особенно с Кантом. Уже Каит учил — и это со-
О БЕСКОНЕЧНОМ
351
ставляет существенную часть его учения, — что математика обладает не зависящим от всякой логики устойчивым содержанием, и потому она никогда не может быть обоснована только с помощью логики, вследствие чего, между прочим, стремления Дедекинда и Фреге должны были потерпеть крушение. Наоборот, кое-что уже дано в нашем представлении в качестве предварительного условия для применения логических выводов и для выполнения логических операций: определённые, внелогические, конкретные объекты, которые имеются в созерцании до всякого мышления в качестве непосредственных переживаний. Для того чтобы логические выводы были надёжны, эти объекты должны быть обозримы полностью во всех частях; их показания, их отличие, их следование, расположение одного из иих наряду с другим даётся непосредственно наглядно, одновременно с самими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведении. Это —¦ та основная философская установка, которую я считаю обязательной как для математики, так и вообще для всякого научного мышления, понимания н общения и без которой совершенно невозможна умственная деятельность. В частности, в математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых, согласно нашей установке, непосредственно ясен и может быть впоследствии узнаваем.
Припомним сущность и методику теории обыкновенных конечных чисел.-Её, разумеется, можно построить отдельно, конструируя числа с помощью содержательных, наглядных соображений. Однако математическая наука отнюдь не исчерпывается числовыми равенствами и не сводится к одним только этим равенствам. Можно утверждать, тем не менее, что она является аппаратом, который при применении его к целым числам всегда должен давать верные числовые равенства. В таком случае ставится требование настолько исследовать строение этого аппарата, чтобы в этом убедиться. Вспомогательным средством при этом служит нам только тот же конкретно содержательный способ рассмотрения и конечная установка мышления, как они применялись для
352
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
получения числовых равенств при построении теории чисел. Это познавательное требование в действительности выполнимо, т. е. можно получить чисто наглядным, конечным способом — совершенно так же, как получаются истины теории чисел — те рассмотрения, которые ручаются за достоверность математического аппарата.
Рассмотрим теперь ближе теорию чисел. В теории чисел мы имеем знаки:
1, 11, 111, 11111,
где каждый числовой знак можно распознать благодаря тому, что в нём за 1 всегда следует опять 1. Эти числовые символы — они и являются объектом наших рас-суждений— сами по себе не имеют никакого значения. Кроме этих знаков в элементарной теории чисел йы пользуемся ещё и другими знаками, которые нечто означают и служат для сообщений. Так, мы пользуемся числовым знаком 2 для сокращённой записи числового знака 11, или числовым знаком 3 для сокращённой записи числового знака 111; далее, мы применяем знаки и дру-
гие, которые служат нам для сообщения утверждений. Так, 2-j-3 = 3-|-2 должно служить для сообщения, того факта, что 2 —3 и 3-(-2, если принимать во внимание сокращённую запись, которой мы пользовались, являются одним и тем же числовым знаком, а именно числовым знаком 11111. Точно так же 3^>2 служит для сообщения того факта, что знак 3, т. е. 111, выступает за знаком 2, т. е. 11, или что этот последний знак является частью первого.
