Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
340
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
т. е. позволяющими проводить тот же ход доказательства и применять те же методы для получения формул и теорем.
В этом и заключается замысел моей теории. Эта теория ставит своей целью установить определённую надёжность математического метода, которой критический период исчисления бесконечно малых ещё не достиг; она должна, таким образом, завершить то, к чему стремился Вейерштрасс в своём обосновании анализа и к достижению чего им был сделан необходимый и существенный шаг.
Однако, затрагивая вопрос о выяснении понятия бесконечности, приходится принимать во внимание ещё более общую точку зрения. Если обратить на это внимание, то оказывается, что математическая литература наводнена нелепостями и бессмыслицами, в которых большей частью повинна бесконечность. Так например, иногда б качестве ограничительного требования подчёркивают, что в строгой математике в доказательстве допускается только конечное число умозаключений — как будто кому-либо удалось уже когда-либо сделать бесконечное число умозаключений.
Также и старые возражения, которые долгое время считались похороненными, выступают опять в новом одеянии. Недавно, например, было высказано следующее: если даже введение какого-либо понятия может быть произведено без опасений, т. е. без получения противоречий, и это может быть доказано, то всё же это понятие не является в достаточной мере оправданным. Не является ли это в точности тем возражением, которое в своё время выдвигали против комплексных (мнимых) чисел, говоря: правда, из-за них не получается никаких противоречий, но их введение всё же незаконно, так как мнимые величины всё-таки не существуют. Нет, если помимо доказательства непротиворечивости может иметь смысл ещё вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет. Действительно, успех здесь необходим; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется каждый.
Другой автор, повидимому, усматривает противоречия, подобно привидениям, даже и там, где никто вообще никаких утверждений не делал, имеиио в самом конкретном,
О БЕСКОНЕЧНОМ
341
чувственном мире, «непротиворечивое функционирование» которого усматривается как особая гипотеза. Я, по крайней мере, думал, что противоречить друг другу могут только высказывания и предположения, поскольку они через умозаключения ведут к новым высказываниям, и мне кажется, что мнение, будто сами факты и события могут оказаться в противоречии друг с другом, является классическим примером бессмыслицы.
Этими замечаниями я хочу только показать, что окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за пределы узких интересов специальных наук и, более того, что оно стало необходимым для чести самого человеческого разума.
С давних пор никакой другой вопрос так глубоко ие волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном; бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно другое понятие не нуждается так сильно в разъяснении, как бесконечность.
Обращаясь к задаче о выяснении сущности бесконечного, мы должны по возможности кратко представить себе, какое содержательное значение соответствует бесконечному в действительности; мы посмотрим сначала, чтб нам даёт в этом отношении физика.
Первым наивным впечатлением, производимым явлениями природы и материей, является впечатление чего-то непрерывного, континуального. Если мы имеем перед собою кусок металла или .некоторый объём жидкости, то иам навязывается представление о том, что они неограниченно делимы, что сколь угодно малый кусок их опять-таки обладает теми же свойствами. Но повсюду, где методы исследования в физике материи достаточно усовершенствованы, мы наталкиваемся на границы этой делимости, которые лежат не в несовершенстве нашего опыта, а в природе самой вещи, так что можно было бы прямо-таки воспринимать тенденцию современной науки, как освобождение от бесконечно малого; теперь можно было бы старому тезису «natura non facit saltus» (природа не делает скачкоз) противопоставить антитезу: «природа делает скачки».
342
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
Известно, что вся материя составлена из маленьких кирпичиков—-из атомов,— и что их комбинации и соединения образуют всё многообразие макроскопических веществ.
Однако физика не останавливается перед учением об атомном строении материи. Рядом с ним в конце прошлого столетия выступает, сначала очень непривычно действующее, учение об атомном строении электричества. В то время как раньше электричество считалось жидкостью и было примером непрерывно действующего агента, теперь оказалось, что и оно построено из положительных ядер и отрицательных электронов.
Помимо материи и электричества, в физике имеется ещё и другая реальность, для которой также имеет место закон сохранения, именно — энергия. Но, как установлено теперь, и энергия не допускает простого и неограниченного деления на части: Планк открыл кванты энергии.
