Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 106

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 169 >> Следующая


1—4, причислить к классу существующих, а все отличающиеся от них вещи, в частности вещь с(бх) = б1, отнести к классу несуществующих. Благодаря найденному, таким образом, свойству установленных аксиом, мы убеждаемся в том, что эти последние никогда не приводят к противоречию, а потому определяемые ими мыслимые вещи б, с, с' называем понятиями илноперациями, непротиворечивыми или существующими без противоречий. В частности, что касается понятия о бесконечном б, то посредством вышеизложенного истолкования утверждение о существовании бесконечного б оказывается оправданным,так как оно получило теперь вполне определённое значение и постоянно применяемое в дальнейшем содержание.

Намеченное здесь исследование представляет собой первый случай, где удалось провести прямое доказательство непротиворечивости аксиом; обычные до сих пор методы доказательств, особенно в геометрии, методы подходящей специализации или- построения примеров в -данном случае отказываются служить.

Это прямое доказательство в данном случае удаётся, как видно, в значительной мере благодаря тому обстоятельству, что высказывание вида а, т. е. высказывание, согласно которому некоторая определённая комбинация должна принадлежать к классу несуществующих, выступает в качестве утверждения только в одном месте, именно в аксиоме 5.

Переведя на выбранный мною язык известную аксиому о полной индукции, мы подобным же образом придём к заключению о непротиворечивости расширенной, таким
332

ДОБАВЛЕНИЕ VII

образом, системы аксиом, т. е. к доказательству непротиворечивого существования так называемой наименьшей бесконечности*) (т. е. порядкового типа 1, 2, 3, ...).

Не представляет затруднения обосновать, исходя из вышеустановленных принципов, понятие конечного порядкового числа; такое обоснование зиждется на аксиоме о том, что каждое множество, которое содержит первый элемент порядкового числа и которое, всякий раз как оно, содержа некоторый элемент, содержит также и следующий за ним элемент, должно обязательно содержать и последний элемент. Доказательство непротиворечивости этой аксиомы получается здесь очень легко посредством использования какого-либо примера; таковым может служить хотя бы число два. В таком случае надо будет показать, что возможен такой порядок элементов конечного порядкового числа, при котором каждоэ подмножество этого последнего имеет как первый, так и последний элемент — этот факт мы доказываем, определяя мыслимую вещь аксиомой

и о И _у<г)|л;<г

и убеждаясь затем в непротиворечивости установленных аксиом после присоединения этой новой аксиомы, как только х, у, z обозначают произвольные элементы конечного порядкового числа. При использовании факта существования наименьшего бесконечного, выводится также и теорема о том, что для всякого конечного порядкового числа может быть найдено большее порядковое число.

Принципы, которыми следует руководиться при построении и дальнейшем выводе законов математического мышления в том духе, который мы имеем в виду, вкратце суть следующие:

I. Достигнув в развитии теории известной ступени, я имею право некоторое дальнейшее высказывание считать

*) См. раздел 2 моего доклада «Математические проблемы», сделанного иа Иитернациоиальном математическом конгрессе в Париже в 1900 году («Непротиворечивость аксиом арифметики», «Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome»).
ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ

333

правильным, как только установлено, что оно, будучи присоединено в качестве аксиомы к высказыванием, которые были найдены до сих пор в качестве правильных, не приводит к противоречию, т. е. что оно приводит к следствиям, которые, по отношению к некоторому определённому разделению вещей на классы существующих и несуществующих, все являются правильными высказываниями.

II. Встречающиеся в аксиомах «произвольные» — кото рые заменяют понятия скаждый» или «все» обычной логики— могут представлять только те мыслимые вещи и комбинации этих Последних, которые либо должны быть на известной ступени приняты в качестве основных, либо полностью определены. Поэтому при выводе следствий из аксиомы «произвольные» следует замещать только такими мыслимыми вещами и их комбинациями. Следует также надлежащим образом обратить внимание на то, что при присоединении и принятии в основу иовой мыслимой вещи значение всех предшествующих аксиом расширяется и, соответственно, они должны быть подвергнуты целесообразному изменению.

III. Множество вообще определяется как мыслимая вещь /я, а комбинации тх называются элементами множества т, так что, — в противоположность обычной трактовке, — понятие элемента появляется как более позднее порождение понятия множества.

Как понятие «множество», так и понятия «сопоставление», «преобразование», «соотношение», «функция» суть мыслимые вещи, для которых так же, как это было сделано раньше с понятием «бесконечность», следует соответствующим образом выбрать подходящие аксиомы, а затем эти понятия в случае возможности разбиения соответствующих комбинаций на класс существующих и несуществующих могут быть познаны существующими непротиворечиво.
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed