Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
А (а) —>¦ А (е (Л)), где ? — трансфинитная логическая функция выбора.
362
ДОБАВЛЕНИЕ VTII
К этому добавляются чисто математические аксиомы:
IV. Аксиомы равенства:
а = а,
и а = Ь-+(А (а) -+А (Ь))
V. Аксиомы числа:
а'ф О,
а также аксиома полной индукции:
{А (0) & (*) {А (*) —А (*'))} —*¦ А (а).
Этим способом мы б состоянии провести нашу теорию доказательства и построить систему доказуемых формул, т. е. математическую науку.
Но на радостях по поводу наших успехов вообще и, в частности, по поводу исчисления логики, которое мы, ие затрачивая на то никаких усилий, нашли в качестве столь необходимого оружия, мы не должны всё же забыть о существенной предпосылке, определяющей наши действия. Существует одно условие, правда, только одно, но зато абсолютно необходимое, с которым связано применение метода идеальных элементов; этим условием является доказательство непротиворечивости: расширение, осуществляемое прибавлением идеалов, допустимо только при условии, что из-за этого в старой, узкой области никаких противоречий не возникает, т. е. при условии, что соотношения, которые получатся для старых образов после исключения идеальных, всегда в старой области имели место.
Однако эта проблема непротиворечивости при настоящем положении вещей вполне доступна для исследования: Именно, подставив в логическую формулу (Л&А)—>-В, которая следует, как это уже было указано, из аксиом отрицания, вместо В неравенство 0 ф 0, мы получим:
(Л & Л) —+0ф0.
Таким образом, для доказательства непротиворечивости нам теперь необходимо только показать, что при доказательстве, проведённом по установленным правилам, «0 ф 0» не появится в качестве заключительной формулы
и, таким образом, что «От^О» не есть доказуемая фор-
О БЕСКОНЕЧНОМ
363
мула. А это является задачей, которая принципиально лежит в области наглядного рассмотрения, аналогично тому, как, скажем, задача об иррациональности ]/2* (т. е. доказательство того, что невозможно найти таких два числовых знака а и 6, которые связаны соотношением а2 = 2Ь2, где, следовательно, должно быть показано, что невозможно задать два числовых знака, обладающих некоторым вполне определённым свойством)' находится б содержательно построенной теории чисел. Соответственно этому, нам надо доказать, что невозможно дать доказательство, обладающее некоторым вполне определённым свойством. Но ведь формализированное доказательство, точно так же, как и числовой знак, является конкретным и обозримым предметом; оно сообщаемо от начала до конца. Также и требуемое свойство заключительной формулы, состоящее в том, чтобы она гласила «0=^0», является конкретно устанавливаемым свойством доказательства. Всё это можно действительно осуществить, и тем самым оправдывается введение наших идеальных высказываний.
Вместе с тем, мы решили ещё проблему, которая давно уже была весьма актуальна, а именно — проблему о непротиворечивости аксиом арифметики. Всюду, где применяется аксиоматический метод, возникает проблема — доказать непротиворечивость устанавливаемых аксиом. Ведь при выборе, трактовке и употреблении аксио» и правил мы не хотим зависеть только от доброй веры и слепого доверия. В геометрии и в физических теориях доказательство непротиворечивости удаётся свести к вопросу о непротиворечивости аксиом арифметики. К самой арифметике этот метод, очевидно, не применим. Наша теория доказательства на основании метода идеальных элементов разрешает сделать этот последний важный шаг и тем самым завершает постройку учения об аксиоматике. И то, что мы дважды пережили, когда сначала речь шла о парадоксах исчисления бесконечно малых, а затем — о парадоксах теории множеств, — это впредь в царстве математики невозможно.
Наша теория доказательства, набросок которой мы здесь дали, в состоянии не только сделать надёжными основы математической науки, но, я полагаю, открывает до-
364
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
рогу для разработки общих вопросов принципиального характера, попадающих в область математических размышлений — вопросов, к которым раньше не могли приступить.
Математика превращается, некоторым образом, в третейского судью, в трибунал высшей инстанции, выносящий решение по принципиальным вопросам, причём такое расширение роли математики происходит на конкретной базе, на которой все должны суметь договориться, и где каждое утверждение контролируемо.
Так же и утверждения нового, так называемого «интуиционизма»,— как бы скромны они ни были, — прежде всего должны, по моему мнению, получить от этого трибунала своё право на существование.
В заключение мы хотим из всех наших рассуждений сделать некоторое резюме о бесконечном. Общий вывод таков: бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления, — здесь мы имеем замечательную гармонию между бытием и мышлением. В противоположность стремлениям Фреге и Дедекинда, мы пришли к убеждению, что в качестве предварительного условия для возможности научного познания необходимы некоторые геометрически-наглядные представления и рассмотрения и что одна только логика недостаточна. Оперирование с бесконечным может стать надёжным только через конечное.