Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
В пункте I выражен тот творческий принцип, который позволяет нам свободно пользоваться созданием всё новых и новых понятий, ограничивая это образование новых понятий одним только условием: избегать противоречий. Парадоксы, упомянутые в начале этого доклада, оказываются
334
ДОБАВЛЕНИЕ VII
невозможными благодаря принципам И и III; в частности, это касается парадокса о множестве всех множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента.
Чтобы сделать убедительным далеко идущее по своему содержанию совпадение понятия множества, определённого в пункте III, с обычным понятием множества, я докажу следующую теорему:
Пусть 1,..., a,.., f суть положенные в основу на из* вестной ступени мыслимые вещи и пусть д(?) является их комбинацией, содержащей произвольное 5; далее, пусть а (а)— истинное высказывание (т. е. а (а) принадлежит к классу существующих); в таком случае безусловно существует мыслимая вещь т такого рода, что а (тх) для произвольного х представляет только истинные высказывания (т. е. а (тх) всегда находится в классе существующих), и обратно, всякая вещь ?, для которой д(?) есть истинное высказывание, будет равна некоторой комбинации тх^я\ так что высказывание
? = тх^
истинно, т. е. вещи ?, для которых а(1) есть истинное высказывание, образуют элементы множества т в смысле вышеприведённого определения.
Для доказательства установим следующую аксиому: пусть т есть мыслимая вещь, для которой высказываний
7. e(S)|m5=e,
8. д(?)| ml= а
истинны, т. е. если 5 есть такого рода вещь, что а(?) принадлежит к классу существующих, то ти;=?; в противоположном же случае т%=а. Присоединим эту аксиому к аксиомам, которые имеют место для вещей 1,..., а,..., г, и положим, что при этом мы придём к противоречию, т. е. что вещи 1,..., а,... i одновременно приводят к следующим следствиям:
р(т) и У(т),
где р(т) есть некоторая комбинация вещей 1,..., f, т. При этом аксиома 8, будучи выражена словами, сводится
ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ
335
к утверждению, что ml = а, если а (?) принадлежит к классу несуществующих. Всюду, где вр (т) вещь т выступает в комбинации т?, заменим, в соответствии с аксиомами 7 и 8 и принимая во внимание аксиому 2, комбинации через ? или, соответственно, через а; из р (т) этим способом получается q (т) (где q(m) уже более не содержит вещь т в комбинации тх); в таком случае q (т) должно было бы быть следствием из аксиом, положенных вначале для 1,...,
а,и тем самым быть истинным, если мы в качестве т примем одну из этих вещей, например 1. Так как подобное же рассуждение справедливо и для высказывания р(т), то и для первоначальной ступени, когда в основу были положены вещи 1,..., a,..., f, должно было бы существовать противоречие
q( 1) и 9(1).
Но это невозможно, если сначала предположить, что существование вещей 1,..., f непротиворечиво. Поэтому мы должны наше предположение о том, что может произойти противоречие, откинуть, т. е. т существует непротиворечиво, что и требовалось доказать.
IV. Если хотят заданную определённым образом систему аксиом исследовать с помощью вышеуказанных принципов, то надо комбинации вещей, положенных в основу, разбить "На указанные два класса—• класс существующих и класс несуществующих; при этом на долю аксиом выпадает роль предписаний, которым это разбиение должно удовлетворять.
Главная трудность будет состоять в том, чтобы убедиться в возможности разбить все вещи иа Два класса — класс существующих и класс несуществующих. Вопрос о возможности такого разбиения, по существу, равносилен вопросу о том, приводят или не приводят к противоречию следствия, которые могут быть получены из аксиом посредством их специализации и совместного их использования в ранее изложенном смысле, если присоединить ещё известные способы логических умозаключений, каковы
{{<*|&) и («|&)}16 {(алЬ) и (алс)} | {ал(6 и с)}.
336
ДОБАВЛЕНИЕ VII
В таком случае непротиворечивость аксиом может быть проверена либо тем, что будет показано, как предполагаемое противоречие должно было бы проявиться уже на более ранней ступени развития теории, либо путём предположения, что существует доказательство, которое, исходя из аксиом, приводит к противоречию, и последующего выяснения того факта, что такое доказательство невозможно, т. е. что оно содержит в себе противоречие. Так, например, набросанный ранее эскиз доказательства непротиворечивости существования бесконечного сводится к тому, что, исходя из аксиом 1—4, невозможно доказать равенство 6.
V. Когда до сих пор шла речь о м н о г и х мыслимых вещах, комбинациях, комбинациях многократного вида или многих произвольных, то при этом всегда понималось ограниченное число таких вещей. После того как мы установили определение конечного числа, мы оказываемся в состоянии трактовать этот способ выражения в его общем значении. Теперь на основании определения конечного числа (в соответствии с идеей полной индукции) оказывается также возможным с помощью рекурентного приёма точно описать значение «произвольного» следствия и «отличия» некоторого высказывания от всех высказываний определённого рода. Именно так, в частности, нужно представлять себе полное определение ранее намеченного доказательства того, что высказывание с (блКл>) = б 1 отличается от каждого высказывания, которое получено, как следствие, из аксиом 1—4 после конечного числа шэгое; именно самое доказательство должно рассматривать как математическое образование, как конечное множество, элементы которого связаны высказываниями, выражающими, что доказательство ведёт от аксиом 1—4 к равенству 6, и надо в таком случае показать, что такое доказательство содержит противоречие и, таким образом, не существует непротиворечиво в определённом нами смысле.
