Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Lk = {со: g{Qh со)sB, /=1, 2, ..., k, g(Qk+и а>)фВ} не имеют общих точек, то
оо оо
А=1 6-1
Следовательно, /Пй-> 0 при ?->оо. Таким образом, при любом 9
P{g(0*, со) е 5, 6=1,2,..., g(0, со) ф В) <lim mk =0. В
Из доказанного нетрудно вывести следующее утверждение. Л е м м а 3. Пусть 2Яо — счетный класс множеств, аТ1 — класс, состоящий из пересечений всевозможных последовательностей множеств из ЯП0- Существует конечная или счетная последовательность точек 0i, 02, ..., 0П, ... и для каждого 0 такое множество N(Q), что
р {W(0)} = 0
и
{со: ?(0„, со)е=5, я=1, 2, ..., g (0, со) ф В} cz N (0)
для любого fieЗй.
Для доказательства поступим следующим образом. Пусть / — счетное множество точек из 0, являющееся суммой последовательностей {0„, п=\, 2, ...}, построенных для каждого В с= ЭИо в соответствии с леммой 2, и JV(0) = [J N (0, В). Если
Везло
В' е 2Я и В zd В', В е 9Я0, то
{со: g (0„, со) е= В', 0„ е= I, g (0, со) ф В} cz {со: g (0„, со) е= В, 0яе/, g(0, со) ф В} cz N (в, B)czN(Q).
СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
223
Далее, если В' = f] Bk, Bk е= a?i0, то k=l
{©: g(Qn> ®) s В', 0„е/, g(0, со)ф.В'}а
оо
с U {со: g(0„, ш)еВ', 0„е/, g(0, ®)ф.Вк}а
k = I
с U ^V(0, Bk)(=N{B),
k=i
что и доказывает лемму. ,¦
Теперь нетрудно доказать теорему 1.
Фиксируем некоторое счетное всюду плотное множество точек L в X и под 2Я0 понимаем класс дополнений к сферам рационального радиуса с центрами в точках L. Тогда 531 — класс пересечений множеств из 5Яо содержит все замкнутые множества. Далее, для каждого Se V рассматриваем случайную функцию g" (0, со) как заданную только для 0eS и строим последовательность / = /(S) и множества N(Q) — NS(Q) в соответствии с леммой 3. Пусть
/= U /(5), Ne= U ЛМ0).
SsK SeV
Положим
#(0, co) = g(0, ю),
если 0е / или g(0, со) е= Nq; если же g(0, (o)eJVe, Ъф-j, то определим g(d, со) любым способом, так чтобы g (0, со)е А (0, со). Так как для точек 0е / значения функций g (0, со) и?(0, со) совпадают, то множества Л(0, со), построенные для функций g(0, со) и g(0, со), также совпадают. Из определения следует, что
g(0, со) «= Л(0, со)
для любого 0 и со. Так как {со: g(0, со) ф g(0, со)} с JVe, то Р{?(0, со) = g (0, со)} = 1. В
Теорема 1 непосредственно обобщается и на случайные функции со значениями в сепарабельных локально компактных пространствах.
Теорема 2. Пусть X — сепарабельное локально компактное пространство и 0 — произвольное метрическое сепарабельное пространство. Для любой случайной функции ^(0, со), заданной на 0 и со значениями в X, существует стохастически эквивалентная сепарабельная случайная функция ?(0, со), принимающая значения на некотором компактном расширении X пространства X, X zd X.
Доказательство вытекает из того факта, что всякое локально компактное сепарабельное пространство X можно рассматривать как подмножество некоторого компакта X. Например, если
224
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
g(0, со)—случайная функция со значениями в конечномерном пространстве X, то, дополняя X одной «бесконечно удаленной» точкой оо, легко получить компактное пространство X = JU U {оо} с новой метрикой, такой что каждое замкнутое FczX (в топологии пространства X) является также замкнутым в X (по отношению к новой метрике). При построении сепарабельной реализации случайной функции ей, возможно, придется приписывать дополнительное значение «оо»; но, очевидно, при фиксированном 0 вероятность этого равна 0. Ц
Во многих вопросах бывает важным знать, какое множество / может играть роль множества сепарабельности.
Теорема 3. Пусть © — сепарабельное пространство и g(Q, со) — сепарабельная стохастически непрерывная случайная функция. Тогда любое счетное всюду плотное множество точек из 0 может служить множеством сепарабельности случайной функции g(0, (й).
Доказательство. Пусть F = {S} — счетное множество сфер в 0, введенное в доказательство теоремы 1, / = {0ft, k = 1, 2, ... ..., п, ...}—множество сепарабельности случайной функции g(6, ш), N — исключительное множество значений ю, фигурирующих в определении сепарабельности, и Л — произвольное всюду плотное множество точек в ©. Пусть В (S, со) обозначает замыкание множества значений g(0, со), когда точка 0 пробегает ADS, a N(S,k) — событие, состоящее в том, что ,д(0л, (о)ё eS(S, со), если 0* е S. События N{S,k) имеют вероятность 0. Действительно, пусть уг, г = 1,2, ..., п, ..., — произвольная последовательность точек из APIS, сходящаяся к 0ь. Тогда
Р {ё (0ь со) ^ В (S, со)} < Р { Urn р (g (0*, со), g (уГ, со)) > 0} <
