Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
218
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
где f(t, со)—вполне определенная неслучайная функция двух переменных t и со (0 ^ < оо, O^co^l).
в) Рассмотрим произвольную случайную функцию в широком смысле со значениями в метрическом полном и сепарабельным пространстве X и с областью определения 0. Как показано в § 2 гл. II, всегда можно построить вероятностное пространство {?3, 6, Р}, где Q — множество всех отображений и = <в(0) множества 0 в Л' такое, что распределение последовательности {to (Эх), ..., ш(8„)} в Хп при любых п, 0А <= 0, k = 1, ..., п, совпадает с соответствующим распределением заданной случайной функции в широком смысле. Иными словами, для произвольной случайной функции в широком смысле можно построить стохастически эквивалентную в широком смысле случайную функцию (представление в терминологии § 2 гл. II).
К сожалению, представление случайной функции, даваемое теоремой Колмогорова, не может нас вполне устроить. Элементарными событиями построенного вероятностного пространства являются произвольные функции со = со(0) переменной 9, и мы лишены возможности говорить о таких свойствах функций со (0), как их непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость и т. п. (при этом мы, конечно, считаем, что @ и X таковы, что соответствующие понятия имеют смысл).
Далее, в построенном вероятностном пространстве нет возможности рассматривать важные при решении многих конкретных вопросов события вида
{со (0) е А для всех 0 е Q}, (4)
где Q — несчетное подмножество из © и A cz X. Действительно, событию
{со: со = со(0)еЛ для всех 0eQ}= (~) {со: со(0)<=Л}
0s Q
в Q соответствует множество, являющееся пересечением несчетного числа множеств из 6, и, следовательно, оно не обязано принадлежать с-алгебре &. Эти соображения подсказывают, что при построении представления семейства распределений (1) желательно, чтобы пространство Q было как можно более узким, т. е. чтобы функции из Q обладали возможно лучшими аналитическими свойствами.
Например, для возможности решения только что упомянутой задачи о вычислении вероятности события (4) желательно, чтобы случайная функция g(Q, ш), являющаяся представлением ¦семейства распределений (1), обладала следующим свойством: с) Для достаточно широких классов множеств Ш из X и О из 0 существует счетное множество S точек 0,(е 0) такое, что
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
2\9
для любого А е St и Q е D множество точек
{to: g (0, о)е-4 для всех 0 <= Q}, Де 31, Q <= Cl, (5>-отличается от множества
{со: g(Qj, со)еЛ для всех 0/eSf|Q} (6)-
только на подмножество некоторого фиксированного множества N р-меры 0, не зависящего от А и Q.
Так как множество (6) является пересечением не более чем счетной последовательности измеримых множеств, то оно само-измеримо и вместе с ним измеримо множество (5) (в силу полноты меры Р). При этом вероятности событий (5) и (6) равны между собой.
Случайная функция, удовлетворяющая условию с), называется сепарабельной (относительно класса множеств SI).
Заметим, что если 0 — сепарабельное метрическое пространство, Q — класс открытых множеств, St — класс замкнутых множеств пространства X, а функция g"(0, oj) почти для всех со является непрерывной функцией аргумента 0 при фиксированном со, то случайная функция g(0, со) сепарабельна относительно класса замкнутых множеств St.
В задачах, связанных с интегрированием случайных величин относительно некоторой меры {т, $} на 0, желательно, чтобы функция g(0, со) была ^-измеримой как функция от 9> при фиксированном со P-почти для всех со.
В других случаях необходимо найти представление заданной в широком смысле функции, при котором почти все выборочные функции непрерывны, или имеют только разрывы первого рода, или k раз дифференцируемы и т. п. Конечно, следует ожидать, что возможность получения представления, обладающего специальными свойствами, определяется конечномерными распределениями случайной функции.
Аналогичные задачи возникают не только для случайных функций в широком смысле. Случайная функция g(0, со) может обладать «патологическими» свойствами, но для нее может существовать стохастически эквивалентная «сглаженная» функция ^*(0, со), P{g(0, а)?= g*(Q, со)} =0, которая уже не «патологична». В соответствии с принятой точкой зрения на стохастически эквивалентные функции при решении интересующих нас задач допустима замена такой функции на стохастически эквивалентную регулярную функцию g*(0, со).
Приведем один пример. Пусть А — множество рациональных, чисел на прямой (—оо, оо), %(t)—индикатор множества А № «— равномерно распределенная на [0, 1] случайная величина.
Положим g(t, со) == %(t + со). При любом фиксированном « функция g(t, со) всюду разрывна. С другой стороны, пр№
"220
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
фиксированном t функция g(t, со) равна 0 с вероятностью 1. Таким образом, с вероятностью 1 всюду разрывная случайная функция g(t,iо) стохастически эквивалентна функции g*(t, со) = 0.
