Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Две случайные функции |(0) и ?'(0) с одной и той же областью определения 0 называются стохастически эквивалентными в широком смысле, если для любого целого
1 и любых 0^ е 0, k = 1, 2, ..., п, совместные распределения последовательностей случайных величин (1) и (2) совпадают.
В дальнейшем часто применяется понятие стохастической эквивалентности случайных функций в более узком смысле.
•216
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
Определение. Две случайные функции gi (0, со), ?2(6, со) (0е8,йб(3), заданные на одном и том же вероятностном пространстве {й, ©, Р}, называются стохастически эквивалентными, если для любого 0е0
Р {&I (0, ю) Ф ё2 (0, со)} — 0.
Очевидно, что если (0, со) и g"2 (0, со) стохастически эквивалентны, то они стохастически эквивалентны в широком смысле.
Рассмотрим несколько примеров случайных функций.
а) Случайное колебание ?(t) (—00 < t <z 00), рассмотренное в § 5 гл. I,
? (0 = ? YУк = + i%,
а-i
ah, pfe {k = 1, 2, ..., n)—случайные величины, можно представить в виде ?(0 = g(t, со), где со = (аь а2, ¦ ¦ ¦, а„, (Зь |3г, • • • ..., р„)—точка в 2я-мерном вещественном пространстве и g (t, со) при фиксированном t является линейной функцией от со, а при фиксированном со — суммой тригонометрических функций от t. Вероятность Р в $?2п задается совместным распределением случайных величин ось осг, . •., ап, Рь р2, .. ., |3„. С другой стороны, процесс t,(t) можно рассматривать как вероятностное пространство {U, @, P'}, где U — пространство всех ком-
П
плекснозначных функций вида ц= ? с заданным бази-
&=1
сом показателей (мь Нг, ..., ип).
Мера р' в У индуцируется мерой Р посредством отображения со —*¦ и = g(t, со).
б) Рассмотрим процесс l(t), выборочные функции которого постоянны на промежутках времени [k — 1, k] и принимают на них значения 0 и 1 с одинаковыми вероятностями, не зависящими от значений l(t) на предшествующих отрезках времени.
Между выборочными функциями процесса ?(/) и бесконечными двоичными дробями можно установить взаимно однозначное соответствие. Его можно реализовать схемой
l(t) ->со = 0, хгх2 (3)
где хп — значение ?(/) на отрезке времени [п—1, я]. Каждой бесконечной двоичной дроби со соответствует некоторая точка отрезка [0, 1]. Взаимная однозначность этого соответствия нарушается только для дробей, у которых все двоичные знаки, начиная с некоторого места, совпадают. Двум таким различным дробям соответствует одна и та же точка отрезка [0, 1] (исключение составляют только точки 0 и 1, имеющие единственную
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
217
запись в виде бесконечной двоичной дроби: 0 = 0,00 ... 0 ...,.
1 =0,11 ... 1 ...)• Выборочные функции, соответствующие подобным бесконечным двоичным дробям, становятся постоянными, начиная с некоторого момента времени. Обозначим это множество функций 91, а через 91„ обозначим событие, состоящее в том, что случайная функция l(t) окажется постоянной,
оо
начиная с момента времени п. Тогда 21= [J 91„. Пусть еще 91 Пт
П= I
означает, что функция \{t) постоянна на отрезке времени [п, п + т\. События 9\пт (т. — 1, 2, ...) образуют монотонно
оо
убывающую последовательность, 51„= [~] %пт и
PW=lim P(8J.
т-> оо
Так как Р (91 пт) = , то Р (91„) = 0 и Р (91) = 0. Следовательно,.
если пренебречь случайными функциями |(?) из множества 91» имеющего вероятность 0, то между точками отрезка [0, 1] и случайными функциями %,(t) существует взаимно однозначное соответствие.
Пусть Д — отрезок с двоично-рациональными концами длиною 1/2™, т. е. отрезок, записываемый в двоичной системе счисления в виде [0, j\ ... /„; 0, ]\ ... /„ + 1), где jh принимают значения 0 и 1, k = 1, 2, ..., п.
Множество А случайных функций l(t), соответствующих точкам веД, состоит из функций, удовлетворяющих условиям
1(0) = /ь 10) = /2, .... 1(л- !) = /„•
Вероятность того, что ?(^)еЛ, равна 1/2™, что совпадает с длиною отрезка А. Отсюда следует, что если В — любое борелев-ское множество точек на отрезке [0, 1], а В' — множество функций l(t), соответствующее в силу (3) числовому множеству В, то Р(В') совпадает с лебеговой мерой В. Таким образом, выбор случайной функции l(t) эквивалентен случайному выбору точки ю на отрезке [0, 1] с заданной на нем лебеговой мерой. Подробнее это означает, что случайный процесс полностью описывается следующим образом. Производится случайный выбор точки из отрезка [0, 1]. При этом вероятность того, что точка веВ, где В — борелевское множество отрезка [0, 1], равна лебеговой мере В. Координата точки ю записывается в двоичной системе счисления: <о = 0, ххх2... хп ... Тогда значение^ функции ?(/) на отрезке [(л—1), и] равно хп. В соответствии: с этим случайную функцию \(t) можно записать в виде
