Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г-> оо
< lim Pi iim p(g(0b со), g{yr, со)) > ~ 1 <
Д->оо Г-^оо
< lim lim p{p(g(0*, <o), g(yr, со))>-Ц = 0. n->°° rT^> 1 ’
Пусть Ar/ = U U N (S, k), тогда Р(Лг/) = 0. Если (a^N[}N' s eft&s
и ё(У> u)^F для всех \gA(1G, где G — некоторое открытое множество, a F cz X замкнуто, то для любого 0* е G и S такого, что 0)j е S с С, имеем
g(Qk, а)еВ(5, k)(=F.
Из определения множества {0ь} отсюда вытекает, что g(Q, со)е е/1 для всех 0еС и a^NUN'. Таким образом, множество Л удовлетворяет условию определения множества сепарабельности случайной функции. Щ
ИЗМЕРИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
225
§ 3. Измеримые случайные функции
Пусть 0 и X по-прежнему обозначают метрические пространства с расстояниями г(0ь 0s), p(xi,x2) соответственно, g(0, со) — случайная функция со значениями в X и с областью определения 0, со— элементарное событие вероятностного пространства {Q, ©, Р}.
Допустим, что на 0 определена а-алгебра множеств й, содержащая борелевские множества, и на й— некоторая полная мера т. Через а{$ X ©} обозначена наименьшая а-алгебра, порожденная в © X ?2 произведением а-алгебр $ и ©, а через сг{$Х®}—ее пополнение относительно меры тХР (см. гл. II, §2).
Определение. Случайная функция g" (0, ш) называется измеримой, если она измерима относительно 5{$Х©}-
По определению случайная функция g(6, со) при любом 0 е 0 ©-измерима. Если же случайная функция измерима, то в силу теоремы Фубини g(0, со) ^-измерима, как функция от 0 P-почти для всех со. Иными словами, ее реализации й'-изме-римы с вероятностью единица.
Рассмотрим теперь условия, обеспечивающие существование для данной случайной функции стохастически эквивалентной, измеримой и сепарабельной функции.
Теорема 1. Пусть © и X — компакты и мера m конечна. Если для m-почти всех 0 случайная функция g (0, со) стохастически непрерывна, то существует измеримая сепарабельная случайная функция g*(Q, со), стохастически эквивалентная функции g(0, со).
В силу теоремы 1 § 2 для функции g(0, со) существует стохастически эквивалентная сепарабельная случайная функция ?(0, со). Пусть /— множество сепарабельности функции g(0, со). Как прежде (§ 2), A(G, со) обозначает замыкание множества значений g(Q, со), когда 0 пробегает множество СП/, и Л(0, со) — пересечение всех множеств вида Л (S, со), где S — произвольная открытая сфера из V (§2), содержащая 0. В силу сепарабельности g(6, со) е А (в, со) почти наверное (т. е. при <о §?/V, где Р (N) = 0). С другой стороны, если функция g'(0, со) такова, что #'(0, со) *= ?(0, со) при 0е/ и g'(в, а) ^ Л (в, со) (а ф N', P(jV') = 0), то g'(0, со) — также сепарабельная случайная функция (лемма 1 § 2). Построим функцию g*(Q, со), обладающую только что указанным свойством, стохастически эквивалентную функции g(Q, со) и измеримую относительно а-алгебры а{$ X ©}• Расположим точки / в последовательность {0ь 02, ..., 0П, .. и пусть /¦„ = min{r(;tft,xs), k, s = 1, ..., п}. Для каждого п построим конечное покрытие множества © сферами S", S/^,
радиус которых равен гп/п, с центрами в точках 0/. При этом
226 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ IV
предполагается, что 0" = 0/ при / = 1, ..., п, а остальные точки 0? (/ =п + 1» • • • > in) выбраны из / произвольно, лишь бы соответствующие сферы образовывали покрытие 0.
Положим g„(9, to) = g(QJt ш) при / <= Snk, k=l, 2........п (эти
сферы не пересекаются, так что приведенное определение
/-1
корректно), и gn (0, to) = g (0", со), если 0 е S] \ |J Si, j =
1 = 1
= п + 1, ..., г„. Заметим, что ga+p (0„, со) = g (0„, to), gn (0, со) — борелевская функция аргумента 0 при фиксированном со и <х{51Х©}-измеримая функция по паре аргументов (0, со). Кроме того,
«*>), §{&, «в)] *= Р [# (0*, со), g(Q, а»)],
причем
г(0*. 0)<-?. (1)
Если положить
Gnp(0) = P{io: p[g„(6, to), g„+p(0, со)] > е},
то в силу условий теоремы m-почти для всех 0 Gnp(Q)~* 0 при п—*-оо для любого е > 0. Поэтому
(m X Р) {(0, со): p[g„(0, со), Й„+Р(в, to)] > е} =
= \ Gn/J(0)m(d0)->O при /г->оо
е
для всех е > 0, т. е. последовательность gn(9, со) фундаментальна по мере m X Р. Из нее можно выделить подпоследовательность §Пк(®> со), сходящуюся т X P-почти всюду к некоторой а{^ X @}-измеримой функции g(0, и). Множество точек
{0, to}, где эта сходимость не имеет места, обозначим через К.
Из построения следует, что можно считать (8j, ь>)ф К. Очевидно, что при (0, со) ф /С g(0, to) е 1(0, to). Далее, если L — множество точек 0, в которых функция g(9, со) не является стохастически
непрерывной, то из (1) следует, что при вфЬ
