Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
hi я
По индукции легко получить, что xt— Е xkpini(k, i). Пусть
kf=[
Xi > 0; для любого i найдется п такое, что р<пЦ1, i) > 0; поэтому Xi > xipWtf, i) > 0. Построив для данного решения системы ( 17) обращенную цепь и положиз xt = 1, из (37) получим единственность Xi, i е /. В силу теоремы 15 Xi — (I, i). §jj
Замечание. Формула (37) является обобщением соотно--1 N
шения lim iV Е Р(п) (i> i) — vi, где {уЛ—инвариантное на-
п=1
чальное распределение, имеющего место для неприводимой положительной возвратной цепи.
Теорема 16 может быть усилена.
Теорема 17. Для неприводимой возвратной цепи Маркова система неравенств
Xi > Е XjP (j, i), Xi > 0, xt=l, (39)
имеет единственное решение, и при этом Xi = ExjP{i> 0,
В силу теоремы 16 достаточно доказать единственность решения системы (39). Введем обращенную марковскую цепь.
с вероятностями перехода q(i, j) = p(j, i) — , где щ — положи-
ui
тельное решение системы (17). Она будет неприводимой и возвратной. Имеем
Но в силу теоремы 13 система неравенств Eqii, 1)У!<У1, yi= 1,
имеет единственное неотрицательное решение г/i = 1. Следовательно, Xi = Ui для всех I е I. Щ
ГЛАВА IV
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение случайной функции
В главе I случайная функция была определена как семейство случайных величин, зависящих от параметра. Там же указывались затруднения, связанные с пониманием этого определения в широком смысле, т. е. как набора конечномерных функций распределения, удовлетворяющих условиям согласованности. Аксиоматика теории вероятностей непосредственно подсказывает, что под случайной функцией естественно понимать произвольное семейство случайных величии, заданных на одном и том же вероятностном пространстве.
Определение. Пусть {Q, @, Р}—некоторое вероятностное пространство. Функция двух переменных g(0, со) = 1(0), определенная при 0е0, юей, принимающая значения в метрическом пространстве X, @-измеримая, как функция со при каждом 6е0, называется случайной функцией. Множество' 0 называется областью определения случайной функции, а X — ее областью значений.
Представляет интерес следующий частный случай общего определения. Предположим, что Q является функциональным пространством, со = со(0), 0 е 0, сг-алгебра @ содержит все множества пространства Q вида
{со: со (0) е А},
каково бы ни было 0е0 и борелевское множество АеХ, Р — произвольная вероятностная мера на @. Естественно сопоставить с таким вероятностным пространством случайную функцию g(0, со) = со(0). В некоторых задачах удобно отождествлять случайную функцию g(0, со) = to (0) с вероятностным пространством {Q, @, Р} описанного типа.
Легко заметить, что общее определение случайной функции можно, свести к только что описанному частному случаю. Действительно, если случайная функция |(0) задана как функция двух переменных, |(0) = ^(0, со), то, положив u = g(Q, со), где
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
215-
© фиксировано, иеЙ, и обозначив через U множество всех функций и = g (0, со), получаемых, когда со пробегает Й, получим некоторое отображение Т множества Q на U. При этом а-алгебра @ множеств Q отображается в некоторую ст-алгебру ft множеств U, а вероятностная мера Р на @ отображается в вероятностную меру Р' на ft (см. § 6 гл. II). Для любого фиксированного 0 множество {и\ и = g (0, со) <С х} принадлежит ft, так как Г-1 {и: и = g (0, со) < х) — {со: g (0, со) < х) е ©.
Таким образом,получено вероятностное пространство{U, ft, р'}, где U — некоторое множество функций ы = ы(0), причем для любых п, 0ь 02, ..., 0П (0а е ©, k = 1, ..., п) распределение последовательности случайных величин на {?2, @, р}
Я (01, Ч ё (02» ш)....g(0„, со)
совпадает с распределением последовательности
и (в,), ы(02), .. ., ы(0„)
случайных величин, заданных на вероятностном пространстве {и, ft, РТ
Сформулируем теперь принципиально важную для дальнейшего точку зрения об эквивалентности случайных функций. При решении многих задач нет оснований различать случайные функции, получаемые друг из друга преобразованиями вероятностного пространства. В этом направлении можно пойти еще дальше. С практической точки зрения эксперимент позволяет различать только гипотезы, относящиеся к конечномерным распределениям случайной функции. Поэтому принято считать, что опытные данные не позволяют различать две случайные функции |(0) и ?'(0), у которых совпадают все конечномерные распределения, т. е. совместные распределения последовательностей
?(0i), |(02), ..., 6(0„) (1)
и
Г(е>), I'(02),.... Г(е„) (2>
для любых целых п ^ 1 и 0^ е 0, k = I, ..., п. В соответствии с этим примем следующее определение.
