Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 79

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 214 >> Следующая


j Ks и / ф s — г (modd). Следовательно, если, например,

Г <_ S, то

p(»d + s-r)(/ /)== ? fW+8-r)(it ])рЬ-Ь)*Ц, j).

k = 0

Доказательство формулы (14) завершается ссылкой на лемму 1, точно так же как доказательство теоремы 10. ¦

Определение. Возвратное состояние j называется

нулевым, если lim p(nd0 (Д /) = 0,

положительным, если lim p^nd^ (j, j) > 0.

В возвратном классе состояний все состояния одновременно либо положительны, либо нулевые. Действительно, если i *-*¦}, то из неравенства

p(m+^.+S)(. i)>pw{it j)p(^){h /)/>(/, 0>

где m и s таковы, что р{т) (г, /') > 0, pis) (/, г) > 0, следует

lim р(пй) (А, г) ^ lim (/, j), й — й{ — dj.

Меняя роли i и /, получим доказательство утверждения.

Полученные результаты можно подытожить следующим об-разом.
204 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. иг

Теорема 12. а) Чтобы состояние / было невозвратным, не-

оо

обходимо и достаточно, чтобы -= ? pM(j, j) <00. При этом

п—\

для всех i

00

Gij = ? Р(п) (г, /) < Gy/ <00, lim /?<п> (г, /) = 0.

rt — I я 00

б) Пусть j — возвратное состояние с периодом d и средним

временем возвращения т}. Если i достижимо из j, тогда г—

также возвратное состояние с тем же периодом d, нулевое или положительное одновременно с j, и существует такое k, 0 k •<

< d, зависящее только от i и j, что

, v ! — при r — k,

lim p{md+r){i, j) = l mj (15)

( 0 при г Ф- k (mod d).

в) Если i, j принадлежат одному и тому же возвратному классу, то

N

lim ^?/>(п)а, /)=~’ (16>

N->oq iV fflf

= 1 4

Последнее утверждение является непосредственным следствием б). С другой стороны, в отличие от утверждения б), формула (16) не отражает различия между апериодическим и пе-

риодическим классами состояний.

Условимся называть неприводимую возвратную цепь Маркова положительной (нулевой), если ее состояния положительны (нулевые).

Критерий возвратности. Стационарные распределения. Свойство цепи Маркова быть возвратной (положительной или нулевой) тесно связано с нетривиальными решениями линейной однородной системы

? p(i, i)xj=xh i(=I, (17)

и ей транспонированной

? р (/, г) х,- = х{, /е/. (18)

/е/

Если система (17) обладает неотрицательным и суммируемым решением, т. е. xt ^ 0, ?л:г < оо, то можно считать, что

?*(•=1, и такое решение можно интерпретировать как инвариантное начальное распределение xt = Р {?(0) = = Р {g( 1) =

= 1} = ..., порождающее стационарный марковский процесс.
§ 6] ЦЕПИ МАРКОВА СО СЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИИ 205

С другой стороны, существование стационарного марковского процесса с заданными вероятностями перехода эквивалентно существованию неотрицательного суммируемого решения системы (17).

Что же касается транспонированной системы (18), то существование нетривиального решения лс* = с очевидно. Для возвратной цепи Маркова характерно, что (18) не имеет других нетривиальных неотрицательных решений. Более того, имеет место следующая теорема.

Теорема 13. Неприводимая цепь Маркова возвратна тогда и только тогда, когда система неравенств

Z p(i, /)*/<*ь <е/, (19)

не имеет неотрицательных решений, отличных от решений вида Xi = с, I е= /.

Доказательство. Допустим, что цепь возвратна, х{ ^ 0 и Xi (i е /) образуют решения системы (19). Выберем произвольное Xi 7> 0 (если такого нет, то все д:г==0). Из (19) следует

Xi> Z Р (г, /) Z p(i, k)xk=Y, P{2)(i, k)xk,

/е/ & e / ks I

и по индукции

Xi>Y, Pw(i, k)xk.

k<=I

Для каждого i найдется такое n, что p{n){i, I) > 0, следовательно, Xi ^ pw (i, I) xt > 0. Итак, Xi > 0 для всех i e I. Положим

X.

г/г== —, где I — произвольно выбранное состояние. Имеем xi

Уг> Z Р(г> /)г/,->р(г, 0 + Z Р (г'> 1)У/- Применяя это неравен-

/ е= / 1^1
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed