Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Энергией, переносимой случайным процессом g(f) в течение промежутка времени (fb f2), называется величина
^ я
\l4t)dt-
и
полной энергией, переносимой процессом g(f) (— 00 < f <; 00),
00
называется интеграл ^ 12(t)di, если он существует.
— оо
Средней мощностью случайного процесса называется предел
г
lim ( l2(t) dt.
т-* 00 ^
Если процесс §(f) является комплексным, то вместо ?2(f) в предыдущих выражениях следует писать Jg(f) |2.
ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
73
В том случае, когда процесс имеет иную физическую интерпретацию, принятая терминология может ей не соответствовать. Все же в дальнейшем эта терминология будет использована.
Во многих вопросах случайные процессы моделируются суммами гармоник с заданными частотами и случайными амплитудами и фазами. Иными словами, рассматриваются процессы вида
П
?(0=2 a* cos (ukt -f Фа),
fe=i
где и* — заданные числа, а величины ак и ф;{ случайны. Теоретико-вероятностная структура этого процесса полностью определяется совместным распределением случайных величин ак,
(k = 1, 2, ... , п). При этом под процессом, определенным формулой (1), следует понимать случайный процесс, конечномерные распределения которого могут быть вычислены исходя из формулы (1) и совместного распределения величин а\, ..., ап>
Фь • • •, фп-
Случайный процесс ?(<) представляет собой сумму п гармоничных колебаний с амплитудами ) ct* ] и частотами ик.
Во многих случаях целесообразно рассматривать комплекснозначные случайные процессы колебательного характера
t,(t)= Y, ykeUkt, (2)
fe-i
где комплексные амплитуды уи являются случайными величинами:
Yfe — ak + i$k\
«й, Рь k — \, 2, ..., n, вещественны. При этом совокупность всех частот {uh}, k = 1, 2, . . . , п, рассматриваемая как множество точек на прямой (—оо «< и < оо), называется спектром случайной функции сопроцесс ?(?) можно расщепить на вещественную и мнимую части:
?(0 = ? +
где
П
? [t) — Z ak cos ukt — sin ukt,
k=i
(3)
Л (0 = Z a* Sin ukt + Pft cos ukt. k=\
случайные процессы в широком смысле
1ГЛ. I
Нетрудно вычислить среднюю мощность, переносимую про* цесссйи ?(<). Имеем
Таким образом, средняя мощность, переносимая колебательным случайным процессом равна сумме средних мощностей,
переносимых каждой гармонической составляющей процесса.
Аналогично вычисляется среднее значение случайной функ-ции ?(0 за бесконечный промежуток времени. Имеем
причем если точка 0 есть точка спектра случайного процесса, то
где Vo — амплитуда, соответствующая частоте и = 0.
Распределение величины ?(t) даже при специальных предположениях о распределении величин уи является весьма сложным. Все же простейшие характеристики распределения случайной величины ?(0 получить нетрудно. Предположим, что комплексные амплитуды уи имеют математические ожидания, равные 0, и между собой не коррелированы, т. е.
Заметим, что если 0 не есть точка спектра случайного процесса, то математическое ожидание функции ?(^), т. е. ее среднее значение в теоретико-вероятностном смысле, совпадает со средним
П
П
sin Т {Ч - иг)
4“k-“r) '
k} г* 1
При Г-> оо получаем
т
п
значение функции в этой точке (и = 0) считается рав-
ным 1. Таким образом,
т
Тогда
MYfe = 0, М v*Yr ~ 0, k?=r.
М?(0“0.
ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
75
значением по бесконечному отрезку времени (— оо, оо). Если же 0 является точкой спектра процесса, то среднее значение выборочной функции по времени является случайной величиной. Для корреляционной функции процесса ?(t) имеем следующее выражение:
R(tu *2) = М [?(*,) ОТ =
= М[ t
L*. г—1 J fc=i
где Cft = M]Yft|2« Таким образом, корреляционная функция процесса Z,(t) зависит только от разности t\ — t^'.
R(h, = (4)
R(t)=t cle(Ht. (5)
fe=i
Следовательно, если в процессе (2) величины Yft некоррелиро-ваны и имеют средние значения, равные 0, то процесс i(t) является стационарным процессом в широком смысле и его корреляционная функция дается формулой (5). Эта формула называется спектральным представлением корреляционной функции. Она определяет спектр случайного процесса, т. е. совокупность частот {%}, k — 1, 2, . . . , п, гармонических колебаний, составляющих процесс ?,(t), и математические ожидания с% средних мощностей, переносимых соответствующими составляющими процесса. Величину с\ можно называть средним значением мощности гармонической составляющей процесса с частотой uh. Она получается путем усреднения мощности по времени и затем усреднения в теоретико-вероятностном смысле. В связи с этими энергетическими представлениями введем следующую важную характеристику стационарного процесса, называемую спектральной функцией процесса.
