Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть g(x)—произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в 0 вне некоторого компакта. Так же как и при доказательстве предыдущей теоремы, можно убедиться, что равномерно по х
, jj111 7—ZTTT Г\8(y)p(tu х, t2, y)dy — g(*)| =
¦jyt, * 4 l*%r J
= (a (t, x), V) g {x) + -j {b {t, x) V, V) g (x).
70 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. I
Используя условия теоремы и последнее равенство, получим д ^ P(s, х, t, y)g(y)dy =
dt
lim
lim , 77Z17 \ [P (s> X, t2, у) — p (5, tu г/)] g (y) dy ¦¦ lim \p(s, x, tu y) f j~z~r \p{U,y,h,z)g{z)dz—g{y)
\t, t^t •> I ‘2 4 J
L md
= \p{s, t>!/)[(«(*» y)> v)&(#) + г/) v, v)g(«/)]d«/.
Интегрируя последнее выражение по частям, найдем, что t, у) g(y)dy = — ^ [(V, р (s, х, t, у) a(t, у)) +
+ Y(V> VP(s- х> У)ЬУ’ y))]g(y)dy-
Учитывая произвольность функции g{y), из последнего равенства получим уравнение (50). Ц
Замечание. Если марковский процесс ?(f) удовлетворяет условиям
^ {у — х) Р (s, х, t, dy) = a{s, x){i — s) + o{t — s), (51)
[ (z, у — xf P (s, X, t, dy) = (b (s, x) z, z) (t — s) + о {t — s) (52)
md
и для некоторого 6 > 0
^ \ У —x f+e P (s, jc, t, dy) = о {Ы), (53)
9ld
то он является диффузионным. Действительно,
P(s, x, t, SeMX-^тё ^ I У — x l2+6 P (s> dy),
яа
\ (y — x) P (s, x, t, dy) = a (s, x) {t — s) + о {t — s) —
— J (y — x)P(s,x,t,dy),
§ Е]
ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
71
\ (z, у — х)2Р (s, х, t, dy) = se w
= (b(s,x)z, z)(t-s) + o(t-s)- 5 (z, y-x)2P(s,x, t, dy),
Таким образом, при любом фиксированном е > 0 условия (43) — (45) выполняются и процесс ?(/) — диффузионный.
§ б. Процессы, стационарные в широком смысле
Важный класс случайных процессов образуют стационарные процессы. Так называют процессы, теоретико-вероятностные характеристики которых не меняются со временем. Можно еще сказать, что стационарные процессы — это процессы, протекающие в не изменяющихся во времени условиях. Более точно это означает следующее. Пусть Т — конечный или бесконечный отрезок времени.
Определение. Случайный процесс (в широком смысле) l(t), t<=T, со значениями в Sld называют стационарным, если для любого п и любых tu t2, ..., tn таких, что t 4 е Т (k =
— 1, ..., п), совместное распределение случайных векторов
не зависит от t.
Условие независимости распределения последовательности (1) от t эквивалентно требованию, чтобы для любой ограниченной непрерывной функции f(x ь ..., хп), хк е Sld, величина
не зависела от t. В частности, если компоненты Q(t), / = 1, ...
вектора ?(«) обладают конечными моментами второго йо-рядка, то величины
t^s, зависят только от разности t — s, b^h(t, s) — bik(t — s).
Имеется обширный круг вопросов, относящихся к теории стационарных процессов, решение которых может быть
(О
m'(t) = Ml1 (t), / = 1, • • •, d,
не зависят от t, m!(t) = m\ а величины
b,k (t, s) = (/) t (s), j, k — \, d,
72
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
ГГЛ. I
выражено через моменты первого и второго порядка рассматриваемых процессов. Поэтому целесообразно выделить класс процессов, моменты первого и второго порядка которых обладают свойством стационарности. Этот класс процессов был впервые определен и изучен А. Я. Хинчиным [3].
Определение. Случайный процесс g(f) = (?'(/), ... ..., ?d{t)), t 0, со значениями в 52d называют процессом, стационарным в широком смысле, если М | ^ (/) |2 <; оо и
МI (f) = m = const, М [g (f) — пг] [| (5) — m]* = R(t — s) (t > s),
где R(t)— непрерывная матричная функция.
Функцию R(t) называют корреляционной (матричной) функцией процесса g(f). В некоторых случаях целесообразно рассматривать комплекснозначные случайные векторные процессы
?(0 = U40, ?<*(0), где ?*(0 = ?*(*)+*Y(0, ?*(0, л*(0-
действительные случайные процессы. Чтобы задать процесс
?(/), нужно задать 2^-мерный векторный процесс 0(f) =:
— (g’(f), ?d(f), г)1 (/), r]d(/)). Распределения всевоз-
можных характеристик процесса ?(f) тогда легко выражаются через совместные распределения векторов 0(f).
В качестве примера стационарных в широком смысле процессов рассмотрим колебания со случайными параметрами. Будем рассматривать скалярные процессы g(f).
Введем некоторые термины, оказывающиеся полезными при физической интерпретации случайных процессов. Если g(f) обозначает силу тока в момент времени f и имеется в виду энергия, рассеиваемая этим током на единичном сопротивлении, то естественными являются следующие определения.
