Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
lim-----------с,
t'V о х
каково бы ни было с < s. Так как
— 1 ~ Ри (т) ^ lim--г1 s,
х v о т
то из этих двух соотношений вытекает, что ! —Р»(т) 1-рг-г(Л)
1,т------1----==sup--------т-----.
% ^ 0 Т Л
Пусть г ф /. Выберем 6 так, чтобы при 0<s^nh<6 выполнялись неравенства Pa{s)>c, pu{s)>c, где 1/2<с<1. Пусть 6 = 0, 1, ...} —цепь Маркова с фазовым пространством N и вероятностью перехода за один шаг Рц = Рц{И).
410 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Тогда
Рц (nh) = Р {|„ = Л |о = /} >
п-1
Р {ll •••> 1г-гФй ir = г" 11о= 0 Pi/P {in ~ / llr+1 “ /} ^
г-0
л-1
2 Р{|1=7^=/........lr-x=?j, lr — i\lo = i}.
г-0
Но
р {ii ^ /. < • •. ir-1 ^ /. ir — i I io = <} = P (ir = г I io — 0 —
— Z P {ix =7^ /, • • • ,h-i Ф /» h = ! I io = 0 P (ir = i I h = /} >
Kr
>c — (i — c) 2 p{ii^i,.... i;-iфi, ii = /iio = o>2c — l.
Kr
Значит,
pt/ {nh) с (2c — 1 )прц{К).
Пусть ^ < 6, h < 6, n — (целая часть). Тогда
Рц W < 1 р
«(И*)
с (2с- 1)
И'
Переходя к пределу при h | 0, получаем
— Рц (h) 1 PiI (t)
hm—^—775------------гг—1—<00.
ft*0 h с (2c — 1) t "
Поэтому
— PtfW 1 Pt,(t)
hm—-r— ^—jx---------гг im ——.
ft*0 h с {2c — 1) t
Но выбором сколь угодно малого б можем сделать с сколь угодно близким к 1. Значит,
— РцМ ^ 1Sm Pilll
lim—-7— ^ lim • ,
но ь TW
1 . Pi/W T7-Pij{h)
lim —'-r— = lim—'-г— < 00. a+ 0 n ft* 0 n
Далее, если N1 cz N — любое конечное множество состояний, не содержащее i, то
l<sN,
§ 31 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ 4] ]
откуда — a;i> ? «;/’> значит,
/ел/,
<2;; ^ Z ®i/- В
С помощью величин ац производится классификация состояний процесса. Состояние i называется мгновенным, если ац — — в противном случае оно называется немгновенным или задерживающим. Немгновенное состояние i называется регулярным, если
? а{! = — аИ.
1Ф1
В противном случае оно называется нерегулярным.
Пусть состояние i немгновенно. Будем предполагать процесс сепарабельным. Тогда момент ? первого выхода из состояния i имеет показательное распределение:
Р {? > 11 *о (0, со) = 0 = Hm Р {x0 (tnk, со) = i, k = \.п},
п~>оо
где 0 — tn()< tnX < ... <tnn = t и max (tnk+\ — tnk) -> 0, множества Л„ = {^„ь ..ft-,} монотонно возрастают и U Л„= А П [0, t], где Л — множество сепарабельности. Поэтому
П
Р{Б><1*о(0, (0) = !'}= lirn TlPaitnk — tnk-\) =
П->СС k = l
= exp{ lim ? In Pa {tnk tnk~i) 1 = exp {ant},
i.n->oo k-=l )
так как In pi; (tnk — tnk-{) ~ ptl (tnk — tnk-{) — 1 ~ ati (tak — t!„*_,).
Предположим теперь, что процесс непрерывен справа в момент ? первого выхода из регулярного состояния i. Найдем распределение величины *о(?, о). Имеем
Р {*0 (?, о) = /1 х0 (0, ©) = /} =
= lim Рол {g ..., х0(^~, ®)=i,;c0(^, ш) = /||=
- js". ZI"- шг ш ¦- л-Tv#r^7 ¦
k-l 1~Рц\ 2п )
Таков вероятностный смысл коэффициентов а^.
-112
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ГГЛ VII
Рассмотрим теперь дифференцируемость вероятности перехода при t > 0. Если i — регулярное состояние, то при h > 0
Pil it + h) — pit (t) = ? [pik (h) — 6ffe] pkj {t) =
k
= {pu{h)— 1 )Pn{t)+ YsPikWpkiit).
k x/k i
Выберем такое конечное множество N,, не содержащее i, чтобы
— ац — Z ац < е.
/' е N,
Если h настолько мало, что
Рп (А)
V | Рц М
<е’ L I -----------------------011
/ <= /V,
< е,
то
Pij(h) 1 —Рц(К) Рг/(Л)
+ Z
/s.V,
Рп (Л)
+ ?
/eiV,
/eA'i
Pi/ (Л)
< Зе,
Поэтому
Pij(t + h) - р,7(0 Р/г (Л) — 1 v-i pift(A)
k S Л';
С
Следовательно,
Pil (t+ h.) — ptl (t)
k s ЛГ]
aaPu (t) — ? alkpk!{t)
