Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
lim Рв> х ({со: xs {t, со) = х, s ^ t ^ s + б}) = 1. (1)
А*0
396
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
Если выполнено условие (1), то для всех s определена положительная случайная величина ti:
tI = sup[f: xs(u, ®) — xs{s, со),
называемая моментом первого выхода из начального состояния. Очевидно, что эта величина является s-марковским моментом.
Заметим, что со — множество, стоящее под знаком вероятности в (1) — не обязано быть событием, так как оно является пересечением континуума событий. Чтобы оно было событием, будем рассматривать лишь процессы, выборочные функции которых сепарабельны в следующем смысле: если xs{t,a) = x при <е(а, р) ПА, где А — некоторое счетное плотное на [0, оо) множество, то хs(t, (о) = х для всех t е [а, р).
Из условия (1) вытекает, в частности, условие
lim PSi * ({со: (t, со) = *}) = lim Р (s, лг, t, {лг}) = 1 (2)
t-^s i + s
({л:} — одноточечное множество, состоящее из одной точки х). Процессы, вероятности перехода которых удовлетворяют условию (2) для всех s, х, называются стохастически непрерывными.
Лемма 1. Если процесс стохастически непрерывен, то существует стохастически эквивалентный ему сепарабельный процесс.
Доказательство. Построим процесс xs(t, со) следующим образом: xs(t, со) = х, если существует такое б > 0, что xs(u, со) —
— л: при ке(/,/ + б) П A; xs(t, со) = xs(t, со) в остальных случаях. Обозначим через событие xs(tt, ш) — xs(t], со), tit
f + y), A = {fb t2, Выберем последовательность
tnk e А такую, чтобы t < tn/} < t + . Тогда
{xs(t, со)фх3Ц, co)}c=U?Ife-
ft
Значит,
Pi, *({Xs(f, <o)?=xs(t, co)})< lim PSlX({xs{t, со)=?xs{t, co)}n?tfe)<
? -> OO
^ k ^ x ^ ^ ^
^ lim Ps, x (%s (^пь у %s {tj ©)):=:
fc-*oo v V « /
= ji^n Ms, xMt, xs (f, (0)X {*< (t, со) ф xt (tnk, 0))} =
= lim \ P(s, x, i, dy)P(t, y, tn X — {y}) = 0,
§ 2] ОБЩИЕ СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 397
так как tnk\t и Р (t, у, t„k, Х — {у})-> 0 для всех у. Очевидно, xs(t, со) будет измеримо относительно ст-алгебры ©/-событий, порожденной событиями из ©? и f\Nl ь где N* t порождена
т ^ tn
множеством %т П At , At cz tk e (t, <+ S). Поскольку 3? с: 3?,
то мера Ps, x определена и на ©?. Покажем, что {xs(t, со), <Sf, Ps, x} также является марковским процессом.
Пусть | — произвольная ©(-измеримая ограниченная величина. Так как ©? содержится в пополнении 3* по мере Ps, х, то существует такая З^-измеримая величина 1, что Ps, * {1=1}= 1. Поэтому при и > t
Ms, Mb (*s («, со)) = Х1 %в {xs (и, со)) =
== Ms JM, ^ (<| a)xB (xt («, CO)) —- Ms AlM^ ^ (<i а)хв (xt (и, со)).
Отсюда вытекает равенство
Pi. х ({*s (и, со) 6= В} I §/) = Pt, xs (t, со) ({-Vf («, со) €= В}).
Но тогда, учитывая равенство Р„,X{xs(u, со) = xs{u, co)}= 1, убеждаемся, что последнее соотношение выполнено, если *«(•, •) заменить на xs(-, •). Щ
Будем предполагать, что все рассматриваемые далее процессы стохастически непрерывны и сепарабельны. Найдем условие, при котором выполнено (1).
Теорема 1. Для того чтсбы сепарабельный марковский процесс в фазовом пространстве (X, 59) был ступенчатым, необходимо и достаточно выполнения условия', для всех se=[0, оо), леХ
lim lim Z P(.t?\x,t{nluX-{x}) = 0, (3)
6i0 max (#>-*?> ,)¦«
какова бы ни была последовательность разбиений s — < ...
... < tnl) — s + 6, для которой max (№ — tfl,) -> 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть выполнено условие (1). Тогда
Р5, *({со: xs(t, со) = х, s<*<s + 6}) =
= lim Ps, х {a:j(t(k \ со) = *, k — l,n} =
— lim Y\_P{fk-\, x, [x})==
398
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
= lim П (l — Р (4-1, X, 4°, X — {х})) <
k=l
<expf — lim Е Р(4-ь х, 4п), X — {л:})1.
1 та J
Значит,
lim ЕР (4-ь х, tf\ X — {*}) <
тах(<^-/("21)->'0 *-1
^ — In Рл ж ({со: xs{t, а) — х, s t s + б}).
Переходя к пределу при б j, 0, из (1) получим (3).
Достаточность. Пусть выполнено (3). Выберем последовательность разбиений s = ton) < t\n) < ... < 4n) = s + б так, чтобы множества Л„ = {^п>, 4"-i} монотонно возрастали спи
U Л„ == Л П (s, s + б). Тогда
П
Pi, * ({*i (f. ®) = X, s < t < s + 6}) =
= Ps,*({*s(f> ®) = X, f«=Af|(s, s + 6)}) = lim Рл * ({xs (t, co) = x,te= A„}) =
n-> oo
