Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
— Рг/(0) = 1 — 1= 0.
/
Значит, Pij(t) — pij{t). Но из (10) вытекает
ОО f Г Г+1 'J
Е (0 = Е Р ) Е и < * < Е Ik I * (О, со) = г [ =
/ г=»0 = 1 k~] )
= Р | sup Е! > 11X (0, со) = i j = P | E Ik > t \x (0, (й) = i j ¦
Поэтому условие (12) эквивалентно регулярности процесса. В случае нерегулярности процесса можно построить и другие решения первой системы Колмогорова. Укажем лишь один способ такого построения. Зададим произвольные вероятности Ри,
оо
Е Pk = 1 и будем считать, что в момент Е ?* (если он конечен)
k=i
процесс с вероятностью ри попадает в состояние к. Для такого процесса вероятности перехода будут удовлетворять следующему уравнению:
Рц (t) ¦¦
Р |л:(/, со) = /', > / |лг (0, со) = г| +
+ Z \ Р I е ds |*(0’ =1\р1ри(* — 8) (13)
i о ^Л:=1 '
(можем перейти из i в / за конечное число скачков либо после
того, как произошло бесконечное число скачков). Первое слагаемое справа в (13) совпадает с рц{‘)- Функции
Ф; И = Р | J] U < s | х (0, со) = г |
можно считать заданными. Уравнение (13) принимает вид
t
рц (t) = Рц (0+25 PiPli (t — S) йГФ; (s). (14)
I о
Решение этого уравнения, удовлетворяющее 1)—4), строится точно так же, как минимальное решение уравнения (2).
Рассмотрим теперь вторую (прямую) систему Колмогорова. Формально она получается из уравнения Колмогорова —
14 И. И. Гихман, А, В. Скороход
418 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ГГЛ VH
Чепмена следующим образом:
fe
и после перехода к пределу
=Еpik ^ ак>- (15)
k
Уравнение (15) удобно тем, 4то из него можно получить уравнение для безусловного распределения процесса: если
Р {*(0, со) = t} = Pi, то
Р{*(/, a>) = j} = Ylpipil(t).
Умножая (15) на и суммируя по i, найдем
-^-Р{x{t, co) = /} = ^]P{x(<, со) = *}(16)
k
Приведем одно достаточное условие, при котором вторая система Колмогорова выполняется.
Теорема 3. Пусть все состояния процесса регулярны и при заданном i
'EPik(t)akk> — (17)
k
Тогда при заданном i для всех / выполнено (15).
Доказательство. При доказательстве теоремы 1 установлено,
что
h о.ц.
Значит, при k ф i
PkiW,\-Pkk(h)
h h ^ 0kk'
Имеем
k
Поскольку для ряда в правой части существует мажоранта по h
Yj I P‘k M P’! {k\ ' "в** I ^ E1 Pik ^ Qkk •* k k
то можно перейти к пределу при h j 0. Существование производной слева установлено в теореме 2. Щ
§ 3] ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ 419
Заметим, что ряд справа в (15) сходится всегда, каковы бы ни были вероятности перехода, если только все состояния процесса регулярны. Действительно,
Pil(t + h)-Pi,(t) 1 -p„(h) ^
—---------h—— + —f— рц (t) = 2, W -X-;
k Ф}
переходя к пределу при h\ 0 и учитывая существование производной (теорема 2), убеждаемся, что
2 Pik (0 “и < - апри (О-
k?-l
Покажем, что минимальное решение рц(1) первой системы Колмогорова удовлетворяет и второй системе. Из полученной оценки вытекает, что определены суммы
? ptk (о &ki=: ? ptk (о
а значит, определено произведение матриц
П(и) АП.
Из (9) находим t t
J U (и) AHe-bV-^du = J e-^AYle-v-u^du +
о о
оо t
+ Е S S е-5>ЛЛП ... •- -МлЛПе-«-»>л dU'
Г — l О S,+ ... +S г<и
Полагая в r-м слагаемом суммы sr+l=u — $! — ... — sr, получим t
J П (и) ЛПе~(<-и) к du =
О
оо
= ^ ^ е-5>лПЛ ... ~sr)A ds\ ... dsr =
Т-1 S,+ ... +Sr<t
= П(0-е-'л/.
