Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
k e /Vi
<5e.
Поскольку aikpkj(t)< ? ал = ац — ? % < e, то
i, N' кф iy k N\ j ^ N i
Pjy (f + /») — Pjj (t)
h
— ? (0
< 6e.
Отсюда вытекает существование правой производной и равенства
(О
rf+Pi/ (0 dt
dt
YjaikPki (t).
Так'как правая часть этого равенства непрерывна, то и правая rf+Pl7 (О
производная —^— тоже непрерывна и, следовательно, сов-
§ 3] ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ 4]3
падает с обычной производной. Таким образом, доказано соотношение
—jt—= 2-,atkpkj{f). (1)
Теорем а 2. Если все состояния процесса регулярны, то вероятности перехода Pa(t) (/, / е N) удовлетворяют системе уравнений (1), носящей название первой (обратной) системы Колмогорова.
Покажем, что система уравнений (1) имеет всегда решение Phj{t), удовлетворяющее условиям 1)—4), если только коэффициенты aih удовлетворяют условиям:
1) 0, 0, кфц 2) ?а,ч = 0.
Это решение можно построить с помощью метода последовательных приближений. Для этого перепишем (1) в виде
t
Рц W = btjcaiit + ^ ea‘l {t~s) У cttkPki (s) ds. (2)
О k^i
(Поскольку
dp а (0
^ Q'ilPijd') / , fttkPkjifys
k Ф i
TO
eaiit ¦$flpij(t)e~c‘iit]= Yj aikPkj{t),
k i
~jj-lPue~a‘iS] = e~a‘iS ? aikpkj{s).
k i
Интегрируя это соотношение от 0 до t и получим (2).) Положим, далее,
pS)(0 = V“"*» (3)
t
р(и (о=v0"*+5eHi (t~s) Z а1Лт{) ^ds ^ > °)-
0 k=fri
Тогда
t
P\lj (0 — pfj (0 = S (t~s) ? aikp<$ ds, (5)
0 h ^ i
t
p(n+ 4t)_ pin.) {t) = J gau (i—) ? a.k [p(«) (S) _ pin-1) (s)] ds. (6)
II кф1
414 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ {ГЛ. VII
Из соотношений (5) и (6) вытекает, что 0 ^.pf)(t) ^p\'}(t• • • ... ^p^(t). Далее, если s{[l)(t) = Yipi[f(t), то из (3) и (4) вытекает
(0 = еа“* + J еа" (t~s) ? aiks(rl) (s) ds <
О
* t
+ J eHi «-> ? a<ft rfs = e«??< _ J e«« «-»> = lf
0 ft t 0
если только s^-1'(/) 1. Следовательно, для всех n
Zp[?(t)< I-
Поэтому существуют пределы
pu(t)= lim ptfit). (7)
П->оо
Переходя к пределу в соотношении (4), убеждаемся, что рцЦ) удовлетворяют равенству (2). Покажем, что pa{t) являются наименьшими неотрицательными решениями (2). Пусть Pa{t) — некоторое неотрицательное решение (2). Тогда
р4/(О = ?!/(*)•
Если pil(t)^pf~]) (t) при некотором п> 0, то
Ра (0 > бг/еа“' + \ еач {i~s) ]Г alkp§~" (s) ds = p\f (t).
0 k^i
Значит, рг/(/)^р(г^(0 Для всех п• Переходя к пределу, получаем рц (t) ^ рц (t). Это решение рг/ называется минимальным. Прежде чем вывести уравнение Колмогорова — Чепмена, получим для pi/(t) некоторое представление.
Используя рекуррентные соотношения (4), можем убедиться,
что
П
р\/)(t) ==Si/e il + ]Г aik}aklk2 akr_li'^
т=1 к,ф1
&г— \Фкг__2
X ^ exp{a?,-Si + aklkxs2 + ••• + afcr_,*r_,sr+
+*r< 1
+ ajj(t — Si — ... — sr)} ds\ ... dsr
§ 3] ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ 4]5
(считаем kQ — i). Поэтому
оо
Pi/(0 — Ьце0'1* + Z Z dik1 - • • flAr_,/X
r = 1
k2?'by kr_{^kr_2
X 5 exp {a(jSs +
Sl+^2 + .. .+$r < /
+ a„ (t — S( — ... — sr)} ds\ ... rfsr. (8)
Обозначим через П(^) матрицу II р*/(О II; пусть я,7 =
ац
ан' xi = — a{i) П = || Лц ||, Л==||Я;б;/||. Тогда (8)
О, i = /, можно переписать так:
