Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 153

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 214 >> Следующая


^

= MSiX|[Pu,^{ti < t, Хи(хи в)еВ}] • ¦

т-1 X=*S (хт-1>“)

Скачкообразный процесс называется регулярным, если suptft = + оо с вероятностью р3, х = 1, каковы бы ни были s, х. Приведем одно достаточное условие регулярности.

Лемма 2. Пусть существует такое 6 > 0, что для всех s, х

Ps, ЛТ1 > s + 6} > 6.

Тогда процесс является регулярным.

Доказательство. Используя теорему 2, можем записать, что для всех п

P{tB-v1>6|@?B.1} = PB,*{T|>H + fi}lll.Vl >6. (7)

(xn-v “)

Положим Zn — тп — Tn-i- Из (7) вытекает, что

Р{5я>б|5ь ?„-,}>6, Р{?Л<6|С,.....S»-i}<(l-e).

тп

Для каждого из событий A-,,..., im= П имеем оценку

Далее, событие {?i + • • • + Zn ^ влечет одно из событий Aiv.... in-k’ ••• <in-k<n. Поэтому

P{?,+ ... +?„<Лб}<СЙ(1 — 6)"~fe —> 0

при п->°о, каково бы ни было k. Значит, Р5, ПРН

и—> оо. И
402 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ VII

Выведем одно интегральное уравнение для вероятностей перехода скачкообразного процесса. Обозначим n(s, х, А, В) = = Р«, *(Ti е A, xs(ть со) е В) совместную функцию распределения Ti и xs(ti, со). Имеем

Р (s, х, t, В) = Ps х ({xs (t, со) €Е В}) —

= Ps, х ({*s (t, ш) S В} П {т < t}) + Pj, х ({*i (t, со) <= В} П {т > 0) = — %в (х) Ms х%р > (*s (t, ©)) =

= 1В (х) Ms Xx(x>i) + м., Xx[x<t) М., ж (хв (X, (t, (О) j\Щ =

= Хв (х) Ms xX{T>t) + Д(Т<<.МХ х^ (т> а)хв (xs (t, со)) =

= (X) М.. Хх[х >t)+ М., Xxlx<t]p (т, х, (т, со), t, В),

Таким образом,

P(s, х, t, B)=xB(x)n(s, х, [/, оо), Х) +

t

+и n{s, х, du, dy)P{u, у, t, В). (8)

S

Рассмотрим теперь однородный скачкообразный процесс. Для такого процесса вероятность перехода Р (s,x,t,B) зависит лишь от разности / — s, которую будем обозначать P(i — s,x,B). Условие стохастической непрерывности теперь имеет вид

lim P{t, х, {*}) = 1. (9)

f + 0

Из теоремы 1 вытекает, что для того, чтобы сепарабельный однородный процесс был ступенчатым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

1 — Р (h, х, {х}) . п.

lim-------- - < оо. (Ю)

л+о

Если это условие выполнено, то величина Ti— s-момент выхода из начальной точки процесса xs(t, со)—имеет показательное распределение, т, е. существует такое Цх), что

Ps. * {*1 > t + s) = ехр {— I (х) t).

Необходимость условия (10) вытекает из того, что при

s = i(on)<i\n)< ... </<n)=s + 6, h = dn> — tk’-i — Ып

lim Y P О*1-!» 4n), X \ {*}) =Hm (l — P x, X\ {*})) =

n-> OO

= 6 lim <*• .

л+о
§ 2] ОБЩИЕ СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

403

Из этого соотношения можем получить и достаточность условия (10), учитывая то обстоятельство, что в качестве множества сепарабельности можно взять множество всех двоично-рациональных чисел. Далее,

Ps, д; {Tl <t + s} = \ — Jim (р X, {*})) ” =

= 1 — lim(l +[р (>. X, {*}) — l]) ” =

= 1 — exp|lim -|г(Р (ф, х, {*}) — l) } = 1 —ехр{— tX(x)},

где А. (х) — lim {h^x'-^--, kn = [t2n — 1] + 1, [•] —целая

часть числа.

Пусть теперь процесс xs{t, со) скачкообразный. Тогда Р*.Лт, <f + s,*s(Ti,to)e5} = lim У Ps, х {xs (s + 4г, со) =

n->ОО „ К \ /

k<t2n

= х, t' = l, . .., k — 1, (s + трг - со) е В \ {*}} =

2 [р (i1 *• w)] р (^’ *’ в 4 =

/1 ч 1 - р‘» (4п, х, м)

lim Р (-5Й-, В\{х})-------,

4 ' 1“Р(^г. W)

причем этот предел существует. Значит, существует и предел

Р(4г, *,В\м) р(4г. *.Д\М)

Ит ------—х--------— = lim ——---------------

Л-»°° 1 -p(^r. *. М) р(^г, *,*-{*})

Обозначая этот предел л(х, В), получим

Ps. а: {^1 <t + S, JCs(Xi, Со) €= ?} = Jt (*, В)(1 — rftW). (И)

Таким образом, Т[ и *s(Tb со) независимы.

Заметим, что * [tj — s] — среднее время пребыва-

ния в состоянии х. Если Х(х) — 0, то Ps,i{Ti > t + s} = 1 для всех s, т. е. процесс никогда не покинет состояния х, если только он был в этом состоянии в настоящий момент. Такое состояние называется поглощающим.
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed