Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
П(0 = /е-'л +
оо
+ ? ] е~*'ААПе~5*ААП ... (Г^—-"Мл ds{ ... dsr (9)
r= 1 S, + ...+Sr<(
(/ — единичная матрица).
Формула (9) допускает простую вероятностную интерпретацию. Пусть {*n(co), n = 0, 1, ...}—цепь Маркова с фазовым пространством N и матрицей вероятностей перехода за один шаг П. Рассмотрим последовательность случайных величин Si, ?2, • • •, связанных с цепью Маркова, совместное распределение которых при заданных л:0(со), Xi (со), ... совпадает с распределением независимых показательных величин, при этом
P{Z,k> t\x0(a), Xi (со), .. .} = ехр{—
Другими словами, {л:п(со)}—вложенная цепь Маркова для процесса, вероятности перехода которого мы хотим построить, а {?ь ?г> • • •}—времена пребывания в состояниях. Пусть x(t, со) =
п п+1 / 0 \
= хп (ю), если Y,Zk ( Z = 0 )• Процесс х(t, со) опреде-
6=1 А«1 \ 1 /
[оо \ оо
О, X t,k) и после момента X ?\k обрывается (или мо-ft-i / а-i
жно считать, что он попадает в поглощающее состояние + оо). Обозначим
0$У(9 = р©) = /. Z lk<t < Z С* I (0, со) =/] (10)
1 V. А = 1 А-I )
416 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ VII
(вероятность перейти из г'-го состояния в /-е, совершив ровно г переходов). Тогда
Ч?;«) = Ьие-*\
?<7 W = Z \ e~KiS%nikie~^S2kknklk2 X • • •
kv ¦ kr s, + .. . + sr < t
... Xe hkr rhknkrie dsi ... dsr.
Таким образом, обозначая Q(r) (t) —1|qfj (t)||, можем (9) переписать в виде
оо
n(0=ZQ{r,(0. (li)
г = 0
Используя равенство (10), легко получить
q{[)(0 = Z ЕрЬ(/ + и, m) = i, х(t, со) = k,
1 к г=о (.
х (0, со) = i | =
I 1 + 1 г г+1
Z 1т < / < Z ?*, Z in О- < Z
т = I т~ 1 /г=Л-1
= Е %qfk(t)qtfl]{u),
k L = i)
т. е.
дм(^ + м) = Ер(г,(ос(г-г)(м)-
1=0
Поэтому
П (* + и) = Z Q(r> (* + и) = Е ? Q(i) (0 QO-O (и) =
г=0 г=0 /=0
= Z Q(r)(0Q<?,(M) = n(0n(M).
г> 0 ?>0
Тем самым для Pij(0 установлено уравнение Колмогорова — Чепмена.
Вопрос о единственности решения первой системы Колмогорова с начальным условием рц(0) = 6ц непосредственно связан с регулярностью процесса. Действительно, заметим, что для единственности решения достаточно выполнения условия
Е/М0 = 1 (12)
1
416
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[гл VII
(вероятность перейти из i-го состояния в у-е, совершив ровно г переходов). Тогда
Таким образом, обозначая Q<r) (/) = |q<fj (t)||, можем (9) переписать в виде
П (t + u)= I Q^ (t + и) = Ц ? QW (t) Q(r-D (и) =
г=0 г—О /“О
= Е QM(0Q(<74«) = n(/)n(M).
г>0
Тем самым для pij(rf) установлено уравнение Колмогорова — Чепмена.
Вопрос о единственности решения первой системы Колмогорова с начальным условием рц(0)= 8ц непосредственно связан с регулярностью процесса. Действительно, заметим, что для единственности решения достаточно выполнения условия
kf s, + ...+ s < t
r ds\ ... dsr.
oo
(11)
Используя равенство (10), легко получить
-Z Z«S5(()«&-"(«),
« i = (J
т. e.
Поэтому
oo oo Г
q >0
? Pn(t) = i
(12)
§ 31 ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ 4J7
для всех г, / > 0 (р;,- — минимальное решение). Действительно, если Pa(t) — другое неотрицательное решение, для которого
Е/М0 = 1. то Рц W — Pn(t)>Q и
