Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Стационарное распределение всегда существует и в силу уравнений (7) задается следующими формулами:
с»(|)
гк k(k-l) ... (s+1) {% V . , -
Ci—------J P°, s<k^m,
Sk~s
г
Po =
L k=o ' k=s+i
Эти формулы могут быть использованы при расчете наиболее выгодного соотношения между числом станков и количеством обслуживающего персонала в конкретных производственных условиях.
2. Телефонная сеть. В ряде случаев мы имеем ту же схему, что и в предыдущем примере, но с m = оо. Такое положение имеет место, например, в случае междугородной телефонной станции, обладающей s линиями связи и обслуживающей практически неограниченное число абонентов. Роль единиц, требующих обслуживания, в настоящем примере играют абоненты, а роль обслуживающих единиц — линии связи. Номер состояния системы показывает число абонентов, требующих в данный момент обслуживания. Если их число >s, то они становятся в очередь и ожидают свободной линии. В отличие от предположений предыдущего примера примем, что вероятность того, что в течение промежутка времени (t, t -j- At) потребует обслуживания один абонент, равна К (At) = /. At + 0 (At), а вероятность того, что потребует обслуживания более чем один абонент, равна о(At), причем эти вероятности не зависят от числа абонентов, потребовавших обслуживания до данного момента времени. Что касается режима обслуживания абонентов, то мы сохраним полностью предположения предыдущего примера. Тогда имеем
%k = %, \xk~k\i при n«. = sn при k^s,
Для существования стационарного распределения необходима и достаточна сходимость ряда
S-Z&+ Z
k—0
т. е. условие Я <С [х.
426
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
В этом случае стационарное распределение дается формулами
Рь = —ТТ Г “У ~ > k~^s.
Нк s\sk~s V ц / S
3. Текстильная нить. Текстильная нить представляет собой пучок волокон, причем число волокон в данной точке меняется вдоль ее длины. Если предположить, что длина волокна имеет фиксированное отрицательно показательное распределение, не зависящее ни от числа волокон в какой-либо точке нити, ни от их длин, и что вероятность появления нового волокна на участке (t,t-\-At) нити равна Я,Д^ + о(Д^) и не зависит от числа волокон и их длин, то число волокон v(t) в точке t нити представляет собой процесс рождения и гибели с параметрами
К = И'П = «И',
где ц есть величина, обратная средней длине одного волокна.
Рассмотрим для процесса рождения и гибели задачу об определении распределения времени Tr,s первого попадания из состояния г в состояние s при г ¦< s. Положим
/>.(*) = Р {*„<*},
оо
Фг i (г) = 5 е~**dFr s $ ^ Me~ZXr s (z > °)-
о
Используя строгую марковость процесса и то, что момент тг, r+i является марковским, х(хг,г+\, со) = r+1 (x(i,co)—выборочная функция процесса), а также равенство (20) § 2, находим
Ро Г {ТГ S 0 — Mo fP t I ®Tr r+1} =
==М°Г«1^Р{Л: (¦?г + Т'-'-+ь “) <s’ г< *2*l®Vr+i}==
== Mo r jim Ptrr+1,*(Trr + 1,m) + Trr +1> gn + Trr + l <^| =
I=: Mo r (Po r+1 {Tr+1 w} lu-Trr+i) — Mo r [1 Fr+1 s (f r+l)]- (®)
Поэтому
f
Fr s(t) “= 5 Fr+i s(t — u)dFr r+1 (и).
о
ПРОЦЕСС РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ
427
Следовательно,
и
frs(z)==qv+is(z)<p,,.+i(20 <pri(z) = <pr,-+l(z)(p, + l,+2(z) ... Фа-1 s(z).
О)
Для нахождения функции фГ;Г+1(г) воспользуемся следующим уравнением: при г > О, если ?г — время первого выхода из состояния г, имеем
Это уравнение может быть получено с использованием строгой марковости процесса точно так же как и соотношение (8). Переходя в (10) к преобразованиям Лапласа, находим
Формула (И) позволяет последовательно определять фг r+i(z), если только известно фо i (г). Но в силу определения процесса т0 1 = ?о и, значит,
Формулы (12), (И), (9) позволяют определить <prs(s) при г С s.
Исследуем теперь условия регулярности процесса рождения и гибели. Воспользуемся для этого теоремой 4 § 3. Система уравнений (19) § 3 принимает вид
hg0= ---- A'O&j + A'OS'b
hgk = — (А/j + Us) gk + hkgk+1 + V-kgk-ь k > 0.
Из уравнений (13) последовательно можем выразить все gk через go. Если go = 0, то и все gk = 0; если go Ф 0, то отношения gh/go определяются из (13) однозначно. Обозначим
Ро г {xr r+1 < 0 — Ро г {?/¦ < U *(?/¦, w) — Г + 1} +
t
+ \ Por{ir^ds,x(ina) = r- 1}Р0г-,{тг_1г+1 <t-s). (10)
о
2+ А,г+ (Хг (1 Фг— 1 r(z)) *
Фг-1 г (z) Фг r+1 (z)] =
{* Г_11 и ' Фг—1 г (z) ф,г+1 (z).
(И)
(12)
428 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ГГЛ. VII
gh+i — gh = fh- Тогда из второго соотношения (13) находим
