Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
404 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Рассмотрим величины {тп, со)} в однородном случае. Формула (11) позволяет с помощью теоремы 2 получить здесь более сильное утверждение, чем в теореме 2.
Теорема 3. Если у процесса отсутствуют поглощающие состояния, то последовательность {х„(со) = xs(xn, со), п — 1, 2, ...} образует однородную цепь Маркова с вероятностью перехода п(х, В) :
Р {хп (со) ей \xn-i (со)} \х = п(хп-1 (со), В),
а величины ^ = ti — s, ?2 = Тг — ть ... условно независимы, если заданы (х„(со), п = 1, 2, и имеют показательное распределение:
Pfe > <Uft-i(ffl)} = exp{— (хг*_! (со))}. Доказательство. В силу теоремы 2 и формулы (11)
Р* X {Jsk -'> 11 Xk (со) f= В J t,i, . . ., t,k—1j Xi (tt>)) . . ., Xk—\ (co)}===
Pa, x {’•'l -'> ^ ("'¦I (®)) ^ ^}
(“>
= Я fe-iH, fi) exp {— а (Хй-, (со))}.
Следовательно, совместное распределение величин ?,ь ?&,
*i((a), •••, л:а(со) задается формулой
Р*. Ж (S; >ил2>к, • • •, lk> tk, Xi (со) efl,, ..,, х* (со) е Bk} =
= J я (х, rfjCi) ... J я (xft-b dxft)exp j — ]Г (хг_] (со)) > (12)
в, вА ^ ;=1 >
(лго (со) = х). Из этой формулы, полагая tt = 0, находим
Ps, ж {*, (со) s В\, . .., xk (со) 6flt} = | я (.V, dxi) ... ^ я (хк-ь dxk),
В, Bk
откуда следует, что Xfc(co) образуют однородную цепь Маркова с вероятностью перехода я(х,В). Кроме того, из (12) можно найти условное распределение величин ?i...........?v.
P,.,{CiXi, • ••, ^>^Ui(«), •••, **(“)} =
= exp | — Z tfr (Xi-1 (со)) |. ¦
Цепь Маркова {*ь(со)} называется вложенной цепью Маркова для данного процесса.
ОБЩИЕ СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
405
Замечание. Если х— поглощающее состояние, то ?i = = + оо, xi (со) не определено. Положим для такого х я(х, В) =
— 1в{х) и будем считать, что xh (со) = xk-i (со), ?& = + оо, если A'fe-i(co) попало в поглощающее состояние. Тогда {лгА(со)} по-прежнему будет однородной цепью Маркова с вероятностью перехода л(х, В).
Если переписать соотношение (12) в виде
то оно будет справедливо и при наличии поглощающих состояний.
Отметим еще, что уравнение (8) для вероятностей перехода в однородном случае имеет вид
Если К(х) ограничено, то методом последовательных приближений устанавливается существование и единственность решения
(13). Как вытекает из леммы 2, при этом предположении процесс будет регулярным, так как
Приведем общее условие регулярности процесса.
Теорема 4. Для того чтобы однородный марковский процесс был регулярным, необходимо и достаточно, чтобы для всех s, х
Ps, х {Si < U, • • •, Zk < U.y xi (©) е В], . . ., xk (со) е Bk} —
k
= Jjx(x, dxi) ... J Я (**-!, dxk) Д(1 — exp{— tih {xi-i (со))}),
в
P (t, x, B) =-- Хв (x) exp {— tX (*)} +
t
+ X (x) ^ e~sK W ds я (x, dy) P (t — s, у, B). (13)
о
(14)
где xk (со) — вложенная цепь Маркова. Доказательство. Так как
Ms,*(e Чк\хк~г (со)) =
оо
= 5 е~иХ (хА_! (со)) е~а (ш)) dt
0
406
СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VII
ТО
vu,;; 11 я
4-1
Поэтому, если T* = SUpTn, то
м,. х {е~ип \Xl (и)............Хя(<0)) = Д ._Ц__ е-х.. (15)
е MS:X д я, + Л(*А_1(«)) {е~м — 0). Переходя к пределу при А | 0, получаем
со
Ms, *%{**<«>} = х Пт П A, + A,(jtA_j(co)) • Но легко видеть, что
Urn ТТ *<VlW)
W М Я + Я('СЙ-1(Ш)) '
1, если У т-7—- , v-r < °°,
§ 3. Однородные процессы со счетным множеством состояний
В этом параграфе рассматриваются однородные процессы в счетном фазовом пространстве X. В этом случае естественно отождествить X с множеством N всех натуральных чисел. Если а-алгебра S3 содержит все одноточечные множества, то она содержит все подмножества N, поскольку любое такое множество является суммой не более чем счетного числа одноточечных. На этом же основании достаточно знать вероятности перехода Р(t,x,B) лишь в том случае, когда В одноточечно. Обычно используются обозначения
P(f, i. {J)) = Pi/(0-Функции Pu(t) также называются вероятностями перехода. Из
§ 3] ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ 407
